Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC

I 0 flashcards i 2 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS FÍSICA Grau en Enginyeria Informàtica Universitat de Lleida AprenAI 2026-2027 Apunts de física sobre corrent altern: fasors, càlcul d'impedàncies RLC i funcions de transferència de filtres passa-alt i passa-baix per a exàmens.

APREN.AI Índex 1 Nombres complexos, fasors i impedàncies en corrent altern Representació fasorial i nombres complexos Llei d'Ohm generalitzada i elements bàsics Associacions d'impedàncies i circuit RLC 2 Circuits de filtre: passa-alt i passa-baix Funció de transferència i paràmetres característics Filtres passa-alt Filtres passa-baix 3 Formulari Fasors i nombres complexos Llei d'Ohm generalitzada i elements RLC Circuits de filtre Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions. Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important.

Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC 1 1 Nombres complexos, fasors i impedàncies en corrent altern EN ACABAR SABRÀS Transformar magnituds de corrent altern entre el domini temporal i la representació fasorial Calcular impedàncies individuals i equivalents sèrie o paral·lel en el pla complex Determinar el mòdul i l'angle d'un circuit RLC genèric PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Per què s'utilitzen nombres complexos en lloc de nombres reals per analitzar circuits elèctrics alterns?

Representació fasorial i nombres complexos En el règim de corrent altern sinusoïdal, les tensions i corrents varien amb una freqüència angular o pulsació mesurada en rad/s, vinculada a la freqüència i al període per l'expressió . Els senyals instantanis temporals es descriuen com a funcions trigonomètriques: Per simplificar els càlculs algebraics s'utilitzen els nombres complexos, on la unitat imaginària compleix . Un nombre complex pertany al conjunt . Esquema del pla complex mostrant formes binòmica i polar. Aquest fasor es pot formular de dues maneres intercanviables: Forma binòmica: , on és la part real i la part imaginària. Forma polar: , definida pel mòdul i l'argument o angle .

Les conversions geomètriques entre ambdues representacions són: Així, la tensió temporal s'associa directament al fasor . ω f T ω = 2πf = T 2π V (t) = V sin(ωt + 0 δ ) I(t) = 1 I sin(ωt + 0 δ ) 2 j = 2 1 C = { = z ˉ a + bj a, b R} = z ˉ a + bj a b = z ˉ r θ r θ Polar a bin mica: o ˋ Bin mica a polar: o ˋ a = r cos(θ), b = r sin(θ) r = , θ = arctg a + b 2 2 ( a b ) V (t) = V sin(ωt + 0 δ ) 1 = V ˉ V δ 0 1 Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC 2 Llei d'Ohm generalitzada i elements bàsics Per a qualsevol element passiu que satisfà la llei d'Ohm en règim altern, la relació fasorial s'estableix com , on és la impedància expressada en ohms ( ).

La inversa de la impedància s'anomena admitància, definida per en unitats de . Element Impedància ( ) Angle de desfasament Relació de tensió Resistència òhmica ( ) Condensador ( ) Bobina inductiva ( ) ERROR FREQÜENT Confondre el signe de la reactància del condensador: , per tant la impedància capacitiva és estrictament negativa en l'eix imaginari ( ), a diferència de la inductiva que és positiva ( ).

Associacions d'impedàncies i circuit RLC De la mateixa manera que les resistències en contínua, les impedàncies es combinen segons la seva topologia: Sèrie: Paral·lel: En un circuit en sèrie que conté resistència, autoinducció i capacitat, la impedància total és: On el mòdul total corresponent és , amb i . La potència consumida a la resistència compleix en watts [W], i la diferència de potencial total del circuit és [V]. COMPROVA-HO 2 Què passa amb la part imaginària de la impedància total si la reactància inductiva és exactament igual a la capacitiva?

= V ˉ I ˉ Z ˉ Z ˉ Ω = Y ˉ Z ˉ 1 Ω 1 Z ˉ R = Z ˉR R Z = R 0 = V ˉR I ˉR Z ˉR C = Z ˉC = jωC 1 ωC j Z = C 90 = V ˉC I ˉC Z ˉC L = Z ˉL jωL Z = L 90 = V ˉL I ˉL Z ˉL = j 1 j 90 +90 = Z ˉeq + Z ˉ1 Z ˉ2 = Z ˉeq 1 + Z ˉ1 1 Z ˉ2 1 = Z ˉ R + j(X L X ) [Ω] C Z = R + (X X ) 2 L C 2 X = L ωL X = C ωC 1 P = RI = 2 R V 2 = V ˉ Z ˉeq I ˉT Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC 3 ESQUEMA Impedàncies en corrent altern IDEES CLAU Un senyal sinusoïdal es representa mitjançant un fasor definit pel seu mòdul i angle de desfasament inicial. La impedància dels elements passius és real pura en resistències ( ), imaginària positiva en bobines ( ) i imaginària negativa en condensadors ( ).

Les impedàncies s'associen sumant directament en sèrie o sumant les seves inverses en paral·lel. L'admitància és l'invers algebraic de la impedància ( ). COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3. Com s'expressa el mòdul de la impedància d'un circuit RLC sèrie en funció de les seves reactàncies? 4. Quin és l'angle de desfasament de la impedància d'una bobina ideal i què significa? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 5. Quina és la impedància complexa d'un condensador ideal de capacitat C? 6. Com es defineix l'admitància d'un circuit? 7. Quin valor té el desfasament associat a una resistència òhmica pura?

Resistència R Z = R amb angle de 0 graus Condensador C Z = -j/(w C) amb angle de -90 graus Bobina L Z = j w L amb angle de 90 graus R jωL j/ωC = Y ˉ 1/Z ˉ -j ω C a) -j / (ω C) b) j / (ω C) c) j ω C d) Part real de la impedància a) Mòdul de la tensió aplicada b) Invers de la impedància c) Suma de resistència i reactància d) 90 graus a) 180 graus b) -90 graus c) 0 graus d) Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC 4 8. Com es combinen dues impedàncies connectades en sèrie?

2 Circuits de filtre: passa-alt i passa-baix EN ACABAR SABRÀS Calcular la funció de transferència per a filtres RC, RL i LC Distinguir el comportament asimptòtic d'un filtre passa-alt i passa-baix Determinar la freqüència pròpia d'un circuit oscil·lant LC PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Com pot un circuit senzill seleccionar freqüències sense cap processador digital? Funció de transferència i paràmetres característics La funció de transferència d'un circuit mesura el guany en tensió calculant únicament la raó entre els mòduls reals dels senyals de sortida i d'entrada: Aquesta funció descriu el comportament en freqüència sense considerar l'angle de desfasament.

En circuits inductius i capacitius, la resposta depèn estretament de la freqüència pròpia o de ressonància , expressada per: Filtres passa-alt Un filtre passa-alt deixa transmetre els senyals d'alta freqüència i atenua o bloqueja els senyals de baixa freqüència. Depenent de la combinació d'elements, la sortida es pren sobre la reactància o la resistència adequada: Configuració RC passa-alt: condensador a l'entrada i resistència a la sortida. Configuració RL passa-alt: resistència a l'entrada i bobina a la sortida. Configuració LC passa-alt: condensador sèrie i bobina a la sortida.

Es multipliquen els mòduls a) Sumant directament Z1 + Z2 b) Restant la menor a la major c) Sumant les seves inverses d) F (ω) F (ω) = V 0,in V 0,out ω 0 ω = 0 LC 1 LC = ω 0 2 1 F (ω) = = V in V out = I R + X 2 C 2 I R R + X 2 C 2 R F (ω) = = V in V out = I R + X 2 L 2 I X L R + X 2 L 2 X L Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC 5 Gràfica de la resposta d'un filtre passa-alt. En els límits del filtre LC passa-alt s'observa que quan o tendeix a la unitat quan . Filtres passa-baix Un filtre passa-baix permet el pas dels senyals de baixa freqüència i bloqueja els continguts d'alta freqüència: Configuració RC passa-baix: resistència d'entrada i sortida en el condensador.

Configuració RL passa-baix: bobina d'entrada i sortida a la resistència. Configuració LC passa-baix: bobina sèrie i sortida sobre el condensador. Gràfica de la resposta d'un filtre passa-baix. Pel que fa al comportament asimptòtic del filtre LC passa-baix, quan , mentre que per a pulsacions molt altes .

F (ω) = = X X L C X L = Lω Cω 1 Lω = CLω 1 2 CLω2 ω ω 2 0 2 ω2 ω 0 F 0+ ω F 1 F (ω) = = V in V out R + X 2 C 2 X C F (ω) = = V in V out R + X 2 L 2 R F (ω) = = X X L C X C = Lω Cω 1 Cω 1 ω ω 2 0 2 ω 0 2 ω 0 F 1 ω F 0+ Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC 6 ERROR FREQÜENT Invertir la presa de sortida: en una xarxa RC, mesurar a la resistència produeix un filtre passa-alt, mentre que mesurar sobre el condensador el transforma immediatament en un passa-baix. COMPROVA-HO 10 Per què a freqüències molt baixes la funció de transferència del filtre RC passa-baix tendeix a 1?

PROCÉS Filtrat passa-alt segons la pulsació 1 Pulsació baixa w propera a 0 El senyal queda atenuat o bloquejat 2 Zona de transició w0 Creixement progressiu del guany de tensió 3 Pulsació alta w gran El guany F(w) tendeix a la unitat IDEES CLAU La funció de transferència relaciona exclusivament els mòduls de la tensió de sortida i entrada. La pulsació pròpia de ressonància LC ve donada per . Els filtres passa-alt atenuen les baixes freqüències i presenten a freqüències elevades. Els filtres passa-baix permeten la transmissió a baixa freqüència ( ) i bloquegen freqüències altes. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Com s'expressa la funció de transferència d'un filtre RL passa-baix? 12.

En un filtre LC passa-alt, com s'expressa la funció en termes de la freqüència pròpia ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13. En quin element es mesura la sortida per obtenir un filtre RC passa-baix? F (ω) = V /V out in ω = 0 1/ LC F (ω) 1 F (0) = 1 ω 0 A la font d'alimentació a) En una bobina en sèrie b) En la resistència c) En el condensador d) Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC 7 14. Quina és la pulsació pròpia w0 d'un filtre LC? 15. Com respon un filtre passa-alt a freqüències molt elevades? 16. Què representa la funció F(w) en aquests circuits?

3 Formulari Fasors i nombres complexos Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : part real, : part imaginària ( ), : mòdul, : argument Definició d'un nombre complex en forma binòmica i polar : mòdul, : angle Conversió de forma polar a binòmica : part real, : part imaginària Conversió de forma binòmica a polar : amplitud de tensió, : fase inicial Pàs de la funció temporal sinusoïdal al fasor : pulsació (rad/s), : freqüència (Hz), : període (s) Relació fonamental de la pulsació angular Llei d'Ohm generalitzada i elements RLC Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : tensió fasorial, : corrent fasorial, : impedància ( ) Llei d'Ohm en règim de corrent altern : resistència elèctrica Impedància d'una resistència òhmica pura : capacitat (F), : pulsació Impedància d'un condensador ideal 1 / (LC) a) L / C b) 1 / (LC) c) (LC) d) La transferència tendeix a 1 a) Entra en curtcircuit intern b) La transferència s'anul·la c) La impedància es fa infinita d) El desfasament en radiants a) El quocient Vout / Vin b) La potència activa dissipada c) La impedància reactiva total d) = z ˉ a + bj = r θ a b j = 2 1 r θ a = r cos(θ) b = r sin(θ) r θ r = θ = a + b 2 2 arctg (a b ) a b V (t) = V sin(ωt + 0 δ) = V ˉ V δ 0 V 0 δ ω = 2πf = T 2π ω f T = V ˉ I ˉ Z ˉ V ˉ I ˉ Z ˉ Ω = Z ˉR R ( 0 ) R = Z ˉC = jωC 1 ( ωC j 90 ) C ω Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC 8 Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : inductància (H), : pulsació Impedància d'una bobina ideal : impedàncies individuals Associació d'impedàncies en sèrie : impedància equivalent Associació d'impedàncies en paral·lel , Impedància total i el seu mòdul en circuit RLC sèrie : admitància ( ) Càlcul de l'admitància d'un circuit : potència dissipada (W) Potència consumida en la resistència Circuits de filtre Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : pulsació pròpia de ressonància Filtres i xarxes ressonants LC : amplituds de sortida i entrada Funció de transferència (sense considerar fase) Sortida a la resistència Filtre passa-alt RC Sortida a la bobina Filtre passa-alt RL ; Filtre passa-alt LC Sortida al condensador Filtre passa-baix RC Sortida a la resistència Filtre passa-baix RL ; Filtre passa-baix LC Errors típics Oblidar el signe negatiu de la unitat imaginària a la reactància capacitiva: , per la qual cosa amb fase de .

Confondre la presa de sortida als filtres RC i RL: mesurar a dona passa-alt en RC però passa-baix en RL.

= Z ˉL jωL ( 90 ) L ω = Z ˉeq + Z ˉ1 Z ˉ2 , Z ˉ1 Z ˉ2 = Z ˉeq 1 + Z ˉ1 1 Z ˉ2 1 Z ˉeq = Z ˉ R + j(X L X ) C Z = R + (X X ) 2 L C 2 X = L ωL X = C 1/(ωC) = Y ˉ Z ˉ 1 Y ˉ Ω 1 P = RI = 2 R V 2 P ω = 0 LC 1 LC = ω 0 2 1 ω 0 F (ω) = V 0,in V 0,out V , V 0,out 0,in F (ω) = R +X 2 C 2 R R F (ω) = R +X 2 L 2 X L L F (ω) = ω ω 2 0 2 ω2 ω 0 F 0 ω F 1 F (ω) = R +X 2 C 2 X C C F (ω) = R +X 2 L 2 R R F (ω) = ω ω 2 0 2 ω 0 2 ω 0 F 1 ω F 0 1/j = j = Z ˉC j/(ωC) 90 R Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC 9 Oblidar el valor absolut al denominador dels filtres LC: la diferència ha de ser sempre positiva per calcular el mòdul de la funció de transferència.

ω 2 ω 0 2 Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC 10 Solucions de les preguntes de repàs 1. Perquè permeten tractar alhora l'amplitud i el desfasament dels senyals sinusoïdals mitjançant càlculs algebraics ordinaris. 2. La reactància neta s'anul·la completament ( ), de manera que la impedància esdevé exclusivament resistiva pura ( ) amb un angle de 0 graus. 3. S'expressa com . 4. El desfasament és de positius ( ), la qual cosa significa que la tensió a la bobina està avançada noranta graus respecte a la intensitat. 5. b) -j / (ω C). Com que 1/j equival a -j, la impedància és 1/(jωC) = -j/(ωC). 6. c) Invers de la impedància.

L'admitància Y és la magnitud inversa de la impedància (Y = 1/Z). 7. d) 0 graus. La impedància d'una resistència és purament real (ZR = R), per tant té un angle de 0 graus. 8. b) Sumant directament Z1 + Z2. En configuració sèrie les impedàncies se sumen de forma directa com a nombres complexos. 9. Aprofitant que la reactància dels condensadors i de les bobines depèn directament de la freqüència del senyal aplicat. 10. Perquè a freqüència propera a zero la reactància del condensador tendeix a infinit, actuant com un circuit obert on recau tota la tensió d'entrada. 11. Ve donada pel quocient . 12. S'expressa com . 13. d) En el condensador.

Prenent la sortida als extrems del condensador s'atenua l'alta freqüència i es manté la baixa. 14. c) 1 / (LC). La freqüència pròpia o pulsació de ressonància es defineix com w0 = 1/ (LC). 15. a) La transferència tendeix a 1. A altes freqüències el senyal no és atenuat i la relació Vout/Vin assoleix el valor 1. 16. b) El quocient Vout / Vin. La funció de transferència mesura el guany com la raó entre la tensió de sortida i la d'entrada. X L X = C 0 = Z ˉ R Z = R + (X X ) 2 L C 2 90 +j X = C ωC 1 F (ω) = R +X 2 L 2 R F (ω) = ω ω 2 0 2 ω2 Física: Corrent Altern, Impedàncies i Filtres RLC 11