Problema 1 · Álgebra UDL 2022

a. (3 punts) 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = n^2(n+1)^2 / 4

Solución: Demostració per inducció completa: 1. Cas base ($n=1$): $1^3 = 1$ i $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = 1$. 2. Hipòtesi d'inducció: se suposa cert per a $n=k$: $\sum_{i=1}^k i^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$. 3. Pas inductiu ($n=k+1$): $\sum_{i=1}^{k+1} i^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left[\frac{k^2}{4} + k + 1\right] = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.

b. (2 punts) 9^n - 4^n = 5k (és múltiple de 5)

Solución: Demostració per inducció completa: 1. Cas base ($n=1$): $9^1 - 4^1 = 5$, que és divisible per 5. 2. Hipòtesi d'inducció: $9^k - 4^k = 5m$ per a algun enter $m$, és a dir, $9^k = 5m + 4^k$. 3. Pas inductiu ($n=k+1$): $9^{k+1} - 4^{k+1} = 9\cdot 9^k - 4\cdot 4^k = 9(5m + 4^k) - 4\cdot 4^k = 45m + 5\cdot 4^k = 5(9m + 4^k)$, que és múltiple de 5.