Examen de Bioestadística UAB 2025 · Segon Parcial 2025-2026

1) Exercici 1 (2,5 punts). Interval de confiança per a una proporció

Un grup de biòlegs investiga la incidència d'un paràsit intestinal en una població de granotes. Prenen una mostra aleatòria de 120 granotes i constaten que 38 estan parasitades.

Definim $p$ com la proporció poblacional de granotes afectades pel paràsit.

a.

[0,5 punts] Proporcioneu una estimació puntual de $p$.

b.

[1,0 punts] Construïu l'interval de confiança al 95% per a la proporció $p$ fent servir l'aproximació normal.

c.

[0,5 punts] Sense necessitat de realitzar operacions numèriques, justifiqueu com variaria l'amplada de l'interval si s'augmentés el nivell de confiança del 95% al 99%.

d.

[0,5 punts] Interpreteu de manera precisa el resultat de l'interval obtingut en el context biològic de l'estudi.

2) Exercici 2 (3,0 punts). Comparació de concentracions mitjanes entre dues zones

Es pretén comparar el nivell mitjà de clorofil·la (mesurat en mg/g) d'una determinada espècie vegetal present en dues localitats diferents. Es disposa de les dades següents:

Zona

n

Mitjana mostral

Desviació estàndard mostral

Zona A

18

12,4

2,1

Zona B

16

10,8

1,6

Siguin $\mu_A$ i $\mu_B$ les mitjanes poblacionals de la concentració de clorofil·la a cadascuna de les zones.

a.

[0,75 punts] Prèviament a la comparació de mitjanes, determineu si les variàncies poblacionals es poden assumir iguals. Enuncieu les hipòtesis nul·la i alternativa, i resoleu el contrast amb una significació del 5%.

b.

[0,5 punts] En funció de la decisió presa a l'apartat anterior, quin contrast escolliríeu per comparar $\mu_A$ i $\mu_B$? Formuleu les hipòtesis per avaluar si existeixen diferències significatives entre les mitjanes.

c.

[0,5 punts] Proporcioneu la definició formal de p-valor d'un contrast d'hipòtesis.

d.

[1,25 punts] Calculeu l'estadístic de contrast, estimeu el p-valor i exposeu la conclusió biològica fixant $\alpha = 0,05$.

3) Exercici 3 (2,5 punts). Contrast unilateral sobre el temps mitjà de germinació

S'avalua si un nou tractament és capaç d'escurçar el temps mitjà requerit per a la germinació d'una espècie vegetal. Es coneix que el temps mitjà de referència històric és de 15 dies. S'aplica el tractament a una mostra de mida $n = 45$, obtenint-se:

Mitjana mostral = 13,8 dies, Desviació estàndard mostral ($S$) = 3 dies.

a.

[0,75 punts] Formuleu les hipòtesis nul·la i alternativa necessàries per avaluar si el tractament redueix el període mitjà de germinació.

b.

[0,75 punts] Calculeu el valor de l'estadístic de contrast adient i indiqueu els seus graus de llibertat.

c.

[0,75 punts] Determineu la regió de rebuig i establiu si s'ha de rebutjar la hipòtesi nul·la per a un nivell de significació $\alpha = 0,05$.

d.

[0,5 punts] Expliqueu clarament en què consistiria cometre un error de tipus I en el context d'aquest estudi.

4) Exercici 4 (2,0 punts). Contrast d'independència per a taula de contingència

En una investigació sobre 100 individus d'una espècie vegetal, s'analitza si la presència d'una patologia fúngica és independent del tipus de sòl (àcid o neutre) en el qual creix la planta. Les dades obtingudes es recullen a la taula de contingència següent:

Tipus de sòl

Infecció: Sí

Infecció: No

Total

Àcid

18

32

50

Neutre

10

40

50

Total

28

72

100

a.

[0,5 punts] Formuleu les hipòtesis nul·la ($H_0$) i alternativa ($H_1$) del contrast d'independència.

b.

[0,5 punts] Calculeu les freqüències esperades per a cada cel·la sota el supòsit d'independència.

Freqüències esperades ($E_{ij}$)

Infecció: Sí

Infecció: No

Àcid

Neutre

c.

[0,5 punts] Determineu l'estadístic $\chi^2$ de Pearson i indiqueu els seus graus de llibertat.

d.

[0,5 punts] Decidiu si es rebutja $H_0$ amb un nivell de significació $\alpha = 0,05$ i redacteu la conclusió en el context biològic de l'estudi.