Examen de Estadística I UAB 2019 · final maig 2019 (Tipus B)

Pregunta 1 (2 punts). Taula de contingència i independència

La següent sortida del programa R resumeix la informació recollida per a una mostra de 350 individus sobre la seva franja d'edat (variable $X$: «Majors de 25» i «Menors de 25») i el nombre d'aparells mòbils (telèfons intel·ligents, tauletes, rellotges intel·ligents, etc.) dels quals disposen (variable $Y$):

Tenint en compte aquestes dades, responeu:

a.

Quina és la mitjana de dispositius mòbils en aquesta mostra? Raoneu la resposta. [0.5 punts]

b.

Quin percentatge d'individus disposa exactament de 2 dispositius mòbils? Justifiqueu el càlcul. [0.5 punts]

%

c.

D'entre tots els subjectes que tenen 2 dispositius mòbils, quina proporció és major de 25 anys? [0.5 punts]

d.

Verifiqueu formalment si ambdues variables són independents. Tindria sentit calcular la seva covariància? Si és que sí, expliqueu com es faria sense arribar a calcular-la. [0.5 punts]

Sí

No

Sí

No

Pregunta 2 (2 punts). Probabilitat total i teorema de Bayes

L'any 2018 va comptar amb 246 jornades laborables i 119 no laborables. Segons les dades registrades per l'observatori Fabra de Collserola, el 12% dels dies laborables es van produir precipitacions, mentre que aquest percentatge va pujar al 17% durant els dies no laborables.

a.

Quina va ser la probabilitat que plogués un dia triat a l'atzar del 2018? [1 punt]

b.

Sabent que en un dia determinat va ploure, quina probabilitat hi ha que correspongués a una jornada laborable? [1 punt]

Pregunta 3 (3 punts). Distribucions binomial i geomètrica

Un laboratori farmacèutic investiga l'eficàcia d'un nou tractament per a una malaltia. Durant els assajos clínics, s'analitza el nombre de pacients que responen satisfactòriament en un grup de 152 subjectes. L'estudi determina que aquesta variable segueix aproximadament una distribució Binomial amb una mitjana de 114 pacients.

a.

Tenint en compte aquesta mostra, quina és la probabilitat que un pacient qualsevol sotmès al tractament hi respongui de manera positiva? [1 punt]

b.

Si en un determinat centre hospitalari s'administra el fàrmac a 4 pacients, quina probabilitat hi ha que tots 4 evolucionin favorablement? [1 punt]

c.

Durant el seguiment clínic posterior, es van revisant pacients d'un en un. Quants se n'espera que caldrà examinar abans de detectar el primer individu que NO respongui de manera positiva? [1 punt]

Pregunta 4 (3 punts). Distribució normal i calibratge

L'error de mesurament d'un cinemòmetre (radar de velocitat de trànsit), definit com la diferència entre la velocitat mesurada i la velocitat real en km/h, se modelitza mitjançant una variable aleatòria $X \sim N(0, \sigma^2)$ amb mitjana 0 i variància $\sigma^2$.

Els aparells es calibren per tal que es compleixi la condició $P(-9 < X < 9) = 0.95$.

a.

Trobeu la desviació típica ($\sigma$) associada a l'error de mesura d'aquests radars. [1 punt]

b.

Un radar registra que un vehicle circula a 102 km/h en un tram limitat a 90 km/h, motiu pel qual el conductor és multat. Quina és la probabilitat que aquesta infracció sigui fruit exclusivament d'un error del cinemòmetre i que la sanció sigui improcedent? [1 punt]

c.

Un cotxe circula a una velocitat real de 127 km/h en un tram on el límit és de 120 km/h. Quina probabilitat hi ha que el radar no el detecti com a infractor? [1 punt]