Exercício 4 · Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais 1.ª fase 2024

4. Durante as pausas na viagem ao longo da EN2, alguns viajantes aproveitam para se divertir com jogos.

O Manuel inventou um jogo, criando peças divididas ao meio. Nas extremidades de cada peça, inscreveu uma das letras, A, B, C, D, E ou F.

A Figura 2 apresenta a totalidade das peças criadas pelo Manuel.

O objetivo deste jogo é criar uma sequência:

formada por todas as peças, independentemente da primeira peça a ser jogada;

em que duas peças adjacentes têm de ter letras iguais nas extremidades de contacto, como se exemplifica na Figura 3.

Para averiguar se as peças criadas eram suficientes para formar uma sequência nas condições descritas, o Manuel decidiu construir um grafo.

No grafo construído, cada vértice representa uma das letras utilizadas nas peças criadas pelo Manuel, e cada aresta representa uma peça. Assim, por exemplo, a aresta AB representa a existência da peça em que uma das extremidades tem a letra A e a outra extremidade tem a letra B.

Depois de construir o grafo, o Manuel concluiu que faltava uma peça ao jogo.

Indique as letras que devem estar inscritas nas extremidades da peça em falta.

Na sua resposta, apresente:

um grafo semelhante ao que o Manuel terá construído;

uma razão que justifique a impossibilidade de atingir o objetivo do jogo, utilizando apenas as peças da Figura 2.