Exercice 3 - Question 4 · Bac Mathématiques Polynésie 2023 (jour 1)

Justification de l'affirmation 4

Réponse : $F$ est dérivable sur $\mathbf{R}$ comme somme et produit de fonctions dérivables. Pour tout $x \in \mathbf{R}$, en posant $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = \mathrm{e}^{3x}$, on a $u'(x) = 2$ et $v'(x) = 3\mathrm{e}^{3x}$ : $$F'(x) = 2\mathrm{e}^{3x} + (2x + 1) \cdot 3\mathrm{e}^{3x} + 0 = (2 + 6x + 3)\mathrm{e}^{3x} = (6x + 5)\mathrm{e}^{3x} = f(x)$$ Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbf{R}$. De plus : $$F(0) = (2 \times 0 + 1)\mathrm{e}^0 + 4 = 1 \times 1 + 4 = 5$$ $F$ est bien la primitive de $f$ sur $\mathbf{R}$ vérifiant $F(0) = 5$.