Exercice Sous-partie 2 - Questions 1.3 à 1.7 · Bac Sciences de l'Ingénieur Métropole 2 remplacement 2021

Sous-partie 2

Choix 1

Réduire la consommation énergétique du véhicule

L’objectif de cette sous-partie est de modéliser le véhicule en situation de course réelle afin de déterminer les paramètres qui influent sur sa consommation et de valider les performances du moteur électrique choisi.

On se propose de réaliser des simulations sur un modèle multiphysique au plus près de la réalité des conditions de course. Pour construire ce modèle, il est nécessaire de réaliser une étude mettant en évidence les efforts agissant sur le véhicule.

Hypothèses:

l’étude est réalisée lorsque le véhicule et son pilote montent une pente de 2% à la vitesse constante de $22\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}$;

la pente de 2% donne un angle $\alpha$ estimé à 1,146 degrés;

le roulement au contact des roues sur le sol est sans glissement;

la masse totale du véhicule et de son pilote est $m = 120\text{ kg}$;

l’accélération de la pesanteur est $g = 9,81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$;

le système possède un plan de symétrie matériel $(O, \vec{x}_0, \vec{y}_0)$;

la modélisation des efforts se situe dans le plan $(O, \vec{x}_0, \vec{y}_0)$.

La situation d’étude est illustrée figure 5.

$R_0(O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0)$ est un repère fixe lié au sol.

$R_1(O, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)$ est un repère fixe lié au sol tel que l’angle $(\vec{x}_0, \vec{x}_1)$ est $\alpha$ et que les axes $\vec{z}_0$ et $\vec{z}_1$ sont confondus.

Efforts agissant sur le véhicule

On cherche à modéliser l’ensemble des efforts agissant sur l’ensemble « véhicule - pilote ».

• Poids du véhicule et de son pilote

Le poids du véhicule et de son pilote appliqué en G est modélisé par:

$$\vec{P} = P_{x_1} \cdot \vec{x}_1 + P_{y_1} \cdot \vec{y}_1 \qquad \{T_{\text{pesanteur}\to\text{véhicule}}\} = \left\{\begin{matrix} P_{x_1} & 0 \\ P_{y_1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right\}_{(O, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)}$$ • Actions du sol sur les roues

Sur les roues libres avants, l’action du sol sur les roues est modélisée au point B par:

$$\vec{F}_{\text{sol}\to\text{roues avants}} = N_B \cdot \vec{y}_1 \qquad \{T_{\text{sol}\to\text{roues avants}}\} = \left\{\begin{matrix} 0 & 0 \\ N_B & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right\}_{(O, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)}$$ Sur la roue motrice arrière, l’action du sol sur la roue est modélisée au point C par:

$$\vec{F}_{\text{sol}\to\text{roue arrière}} = N_C \cdot \vec{y}_1 \qquad \{T_{\text{sol}\to\text{roue arrière}}\} = \left\{\begin{matrix} 0 & 0 \\ N_C & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right\}_{(O, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)}$$ Le couple appliqué au centre de la roue arrière engendre un effort au contact du sol. Cet effort est modélisé au point C par:

$$\vec{F}_{\text{sol}\to\text{roue arrière}} = T_C \cdot \vec{x}_1 \qquad \{T_{\text{sol}\to\text{roue arrière}}\} = \left\{\begin{matrix} T_C & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right\}_{(O, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)}$$ • Effets aérodynamiques

Un effort aérodynamique de trainée appelé $\vec{F}_{\text{air}\to\text{véhicule}}$ est modélisé au point A par:

$$\vec{F}_{\text{air}\to\text{véhicule}} = -F_A \cdot \vec{x}_1 \qquad \{T_{\text{air}\to\text{véhicule}}\} = \left\{\begin{matrix} -F_A & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right\}_{(O, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)}$$ L’expression de $F_A$ est: $$F_A = \frac{1}{2} \times \rho_{\text{air}} \times S \times C_x \times V_v^2$$ où:

$\rho_{\text{air}}$: est la masse volumique de l’air estimée à $1,292\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$;

$S$: est la surface projetée de la face avant du véhicule estimée à $0,25\text{ m}^2$;

$C_x$: est le coefficient de pénétration dans l’air estimé à $0,4$ (sans unité);

$V_v$: est la vitesse du véhicule en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

• Efforts de résistance au roulement au niveau des roues

Un phénomène de résistance au roulement existe au niveau des 3 roues. Par soucis de simplification, la résultante de ces efforts de résistance sera modélisée au point G par:

$$\vec{F}_{\text{roulement}\to\text{véhicule}} = -F_R \cdot \vec{x}_1 \qquad \{T_{\text{roulement}\to\text{véhicule}}\} = \left\{\begin{matrix} -F_R & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right\}_{(O, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)}$$ La valeur de $F_R$ est donnée par l’expression: $$F_R = n \times C_{rr} \times m \times g$$ où:

$n$: est le nombre de roues;

$C_{rr}$: est le coefficient de résistance au roulement;

$m$: est la masse du véhicule en kg;

$g$: est l’accélération de la pesanteur en $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$.

Le tableau de la figure 6 donne quelques valeurs possibles du coefficient de résistance au roulement $C_{rr}$.

$C_{rr}$ · Description

0,005 · Pneus de bicyclette typique

0,0025 · Pneus spéciaux challenge ÉducÉco

0,010 à 0,015 · Pneus de voiture ordinaire sur béton

0,3 · Pneus de voiture ordinaire sur sable

Figure 6: coefficient de résistance au roulement

On rappelle que, dans le cadre de l’étude menée, on suppose que le véhicule avance à une vitesse constante de $22\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}$.

Dans la suite de l’étude on utilise la valeur $T_C = 35\text{ N}$.

Modélisation du circuit et modèle multiphysique

Le choix du moteur BLT 500W-48V a été réalisé à partir de la valeur de $P_m$ déterminée par l’étude précédente. Les paramètres de ce moteur ont été utilisés pour construire le modèle multiphysique.

Lors de la course réelle, le véhicule ÉcoDark doit parcourir 3 tours d’un circuit fermé constitué d’une succession de pentes positives ou négatives, de virages et de parties planes.

Le circuit réel est modélisé en traduisant les points de données GPS du parcours en coordonnées cartésiennes. La topologie du circuit est décrite sur les graphes des figures 7 et 8.

Le modèle multiphysique du véhicule est proposé figure 9. Il permet d’évaluer la quantité d’énergie nécessaire pour réaliser un tour de circuit à la vitesse moyenne de $22\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}$. Ce modèle simule le fonctionnement du véhicule dans les conditions de course sans tenir compte de la stratégie de pilotage. Il a pour but d’optimiser les paramètres qui influent sur la consommation énergétique du véhicule.

Pour utiliser ce modèle numérique de calcul, un certain nombre de données essentielles ont été renseignées:

caractéristiques électriques du moteur et de la batterie;

masse du véhicule et de son pilote, coefficient de pénétration dans l’air, taille des roues, résistance au roulement, rendement de transmission, rapport de réduction de la transmission;

caractéristiques du circuit (pentes et longueur).

On se propose d’utiliser ce modèle afin de déterminer la quantité d’énergie utilisée pour plusieurs valeurs de $Z_B$, nombre de dents du pignon de la roue motrice. On vérifiera ensuite si le moteur choisi pour la modélisation va pouvoir réaliser la tâche demandée.

Le graphe représentant la quantité d’énergie nécessaire au véhicule (en kJ) pour un tour de circuit est donné figure 10. La simulation a été réalisée pour différentes valeurs de $Z_B$.

La valeur référence de $Z_B$ est 36 dents, elle correspond au nombre de dents du pignon utilisé sur le véhicule avant modification.

Les courbes proposées figure 11, ont été obtenues à partir du modèle multiphysique durant trois tours de circuit, avec $Z_B = 26\text{ dents}$. Elles représentent les variations de la vitesse de rotation du moteur $N_{m\text{ mod}}$, du couple moteur $C_{m\text{ mod}}$, du courant absorbé par le moteur $I_{m\text{ mod}}$ et de la puissance mécanique fournie $P_{m\text{ mod}}$ (les grandeurs déterminées par modélisation sont annotées avec l’indice « mod »).

Remarque: Afin d’adopter une stratégie de course qui consiste à accumuler l’énergie cinétique en phase de descente, la roue motrice arrière est dotée d’un mécanisme irréversible (de type roue libre). De ce fait, la vitesse du véhicule (et donc celle du moteur) augmente au-delà de $22\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}$ en cas d’un dénivelé négatif important. Ce fonctionnement correspond aux phases A, B et C des graphes de la figure 11.

Caractéristiques constructeur du moteur BLT 500W-48V

Les caractéristiques du moteur BLT 500W-48V données par le constructeur sont proposées figures 12 et 13. Celles-ci vont permettre de vérifier si le moteur est correctement choisi.

Question 1.3

Calculer les composantes $P_{x_1}$ et $P_{y_1}$ du vecteur $\vec{P}$. Représenter sur le document réponse DR2 les composantes $P_{x_1} \cdot \vec{x}_1$ et $P_{y_1} \cdot \vec{y}_1$ du vecteur $\vec{P}$.

Question 1.4

Représenter $N_B$, $N_C$ et $T_C$, les composantes des vecteurs $\vec{F}_{\text{sol}\to\text{roues avants}}$ et $\vec{F}_{\text{sol}\to\text{roue arrière}}$ sur le document réponse DR2.

Question 1.5

Calculer la valeur de $F_A$ pour une vitesse de $22\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}$ et représenter cette composante sur le document réponse DR2.

Question 1.6

À partir des données du tableau de la figure 6, déterminer la valeur du coefficient $C_{rr}$ à utiliser dans la modélisation. Calculer la valeur de $F_R$ pour 3 roues et représenter la composante modélisant cette résistance au roulement, ramenée en $G$ sur le document réponse DR2.

Document-réponse DR2

Sur le schéma du véhicule (DR2), représenter l'ensemble des vecteurs forces demandés aux questions 1.3 à 1.6 ($P_{x_1}\cdot\vec{x}_1$, $P_{y_1}\cdot\vec{y}_1$, $N_B$, $N_C$, $T_C$, $\vec{F}_{\text{air}\to\text{véhicule}}$, $\vec{F}_R$).

Question 1.7

En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique, écrire l'équation littérale de la résultante des efforts en projection sur l'axe $\vec{x}_1$. En déduire la valeur de la composante $T_C$.