Exercice 1 - Partie A · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 1)

Partie C

Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d'une journée, ont chacune déclenché 20 contrôles. On note $X_1$, $X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d'erreurs détectées lors de cette journée.

On admet que les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes entre elles et suivent chacune une loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}165)$.

Exercice 1

Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes.

Un magasin est équipé de caisses automatiques en libre-service où le client scanne lui-même ses articles. Le logiciel d'une caisse déclenche régulièrement des demandes de vérification. Un employé du magasin effectue alors un contrôle.

Partie A

Le contrôle peut être:

soit « total »: l'employé du magasin scanne alors à nouveau l'ensemble des articles du client;

soit « partiel »: l'employé choisit alors un ou plusieurs articles du client pour vérifier qu'ils ont bien été scannés.

Si un contrôle est déclenché, il s'agit une fois sur dix d'un contrôle total.

En cas de contrôle total, une erreur du client est détectée dans 30 % des cas.

En cas de contrôle partiel, il n'y a pas d'erreur détectée dans 85 % des cas.

Un contrôle est déclenché à une caisse automatique.

On considère les événements suivants:

$T$: « Le contrôle est un contrôle total »;

$E$: « Une erreur est détectée lors du contrôle ».

On notera $\overline{T}$ et $\overline{E}$ les événements contraires de $T$ et $E$.

1.

Construire un arbre pondéré représentant la situation puis déterminer $P(\overline{T} \cap E)$.

2.

Calculer la probabilité qu'une erreur soit détectée lors du contrôle.

3.

Déterminer la probabilité qu'un contrôle total ait été effectué, sachant qu'une erreur a été détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.