Exercice 2 - Partie A - Probabilités conditionnel… · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2023 (jour 1)

Thème : Probabilités conditionnelles et indépendance · Tiré du sujet Jour 1 (2023)

Énoncé

Exercice 2 (6 points)

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l'entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

Partie A

On estime que:

lorsqu'une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu'elle soit encore en bon état le lundi suivant est 0,9;

lorsqu'une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu'elle soit en bon état le lundi suivant est 0,4.

On s'intéresse à l'état d'une trottinette lors des phases de contrôle.

Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l'événement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$ .

Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0 = 1$ .

Partie A

On estime que: lorsqu'une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu'elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;

lorsqu'une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu'elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$ .

On s'intéresse à l'état d'une trottinette lors des phases de contrôle. Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l'événement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$ . Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0 = 1$ .

Donner $p_1$ et montrer que $p_2 = 0,85$ . On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous:

En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$ .

4. a.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $p_n \geqslant 0,8$ .

4. b.

À partir de ce résultat, quelle communication l'entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?

5. a.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = p_n - 0,8$ . Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

5. b.

En déduire l'expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$ .

5. c.

En déduire la limite de la suite $(p_n)$ .

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Donner $p_1$

Réponse : $0,9$

1. Montrer que $p_2 = 0,85$

Réponse : $p_2 = 0,85$

2. Arbre pondéré : probabilité sur la branche vers $\overline{B_n}$

Réponse : $1 - p_n$

2. Arbre pondéré : probabilité $P_{B_n}(B_{n+1})$

Réponse : $0,9$

2. Arbre pondéré : probabilité $P_{B_n}(\overline{B_{n+1}})$

Réponse : $0,1$

2. Arbre pondéré : probabilité $P_{\overline{B_n}}(B_{n+1})$

Réponse : $0,4$

2. Arbre pondéré : probabilité $P_{\overline{B_n}}(\overline{B_{n+1}})$

Réponse : $0,6$

3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$

Réponse : $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$

4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $p_n \geqslant 0,8$

Réponse : Pour tout entier naturel $n$ , $p_n \geqslant 0,8$ .

4. b. À partir de ce résultat, quelle communication l'entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?

Réponse : L'entreprise peut dire que, chaque lundi, au moins 80% des trottinettes sont en bon état.

5. a. Raison $q$ de la suite géométrique $(u_n)$

Réponse : $0,5$

5. a. Premier terme $u_0$ de la suite géométrique $(u_n)$

Réponse : $0,2$

5. a. Démonstration que $(u_n)$ est une suite géométrique

Réponse : $u_{n+1} = 0,5u_n$

5. b. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$

Réponse : $u_n = 0,2 \times 0,5^n$

5. b. En déduire l'expression de $p_n$ en fonction de $n$

Réponse : $p_n = 0,2 \times 0,5^n + 0,8$

5. c. En déduire la limite de la suite $(p_n)$

Réponse : $0,8$

5. c. Justification de la limite de $(p_n)$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$ car $0 < 0,5 < 1$ , d'où $\lim_{n \to +\infty} p_n = 0,8$

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