Exercice 4 - Primitives et équations différentielles · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 2)

Partie C: étude de fonction

On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la question partie B.2 On rappelle que, pour tout réel $x$, $f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\mathrm{e}^{-5x+1}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

Partie B: équation différentielle

On considère l'équation différentielle $(E): y' + 10y = (30x^2 + 22x - 8)\mathrm{e}^{-5x+1}$ avec $x \in \mathbf{R}$ où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbf{R}$.

1.

Résoudre sur $\mathbf{R}$ l'équation différentielle: $y' + 10y = 0$.

2.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\mathrm{e}^{-5x+1}$. On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$ et on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Justifier que $f$ est une solution particulière de $(E)$.

3.

Donner l'expression de toutes les solutions de $(E)$.