Exercice 3 - Partie B · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 1)

EXERCICE 3 – 6 points

On se propose d'étudier la concentration dans le sang d'un médicament ingéré par une personne pour la première fois. Soit $t$ le temps (en heures) écoulé depuis l'ingestion de ce médicament. On admet que la concentration de ce médicament dans le sang, en gramme par litre de sang, est modélisée par une fonction $f$ de la variable $t$ définie sur l'intervalle $[0\;\ +\infty[$.

Partie B: détermination de la fonction $f$

On considère l'équation différentielle $(E): y' + y = 5e^{-t}$, d'inconnue $y$, où $y$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0; +\infty[$.

On admet que la fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

1.

Résoudre l'équation différentielle $(E'): y' + y = 0$.

2.

Soit $u$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par $u(t) = a t e^{-t}$ avec $a \in \mathbb{R}$.

Déterminer la valeur du réel $a$ telle que la fonction $u$ soit solution de l'équation $(E)$.

3.

En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

4.

La personne n'ayant pas pris ce médicament auparavant, on admet que $f(0) = 0$.

Déterminer l'expression de la fonction $f$.