Exercice 4 - Limites de fonctions et TVI · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2022 (jour 1)

Énoncé

EXERCICE 4 (7 points)

Thème: fonction exponentielle

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 1}$ .

Affirmation 2: L'équation $g(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$ .

Affirmation 5: $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + x} = 0$ .

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Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

2. Affirmation 2 : L'équation g(x) = 1/2 admet une unique solution dans R.

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 2

Réponse : g'(x) = e^x / (1 + e^x)^2 > 0 donc g est strictement croissante sur R. g(0) = 1/2, donc 0 est l'unique solution.

5. Affirmation 5 : lim_{x -> +inf} e^x / (e^x + x) = 0.

Réponse : Fausse

Justification de l'affirmation 5

Réponse : e^x / (e^x + x) = 1 / (1 + x*e^(-x)). Par croissances comparées, lim x*e^(-x) = 0 en +infini, donc la limite vaut 1 et non 0.

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