Exercice 4 - Limites de fonctions · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2026 (jour 1)

2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

Réponse : $+\infty$

2. Justification de la limite en $-\infty$

Réponse : Quand $x \to -\infty$, $x^2 + 1 \to +\infty$ donc $5\ln(x^2 + 1) \to +\infty$, et $-3x \to +\infty$. Par somme, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

3. a. Démontrer que, pour tout $x$ réel strictement positif, $f(x) = x\left(10\frac{\ln x}{x} - 3\right) + 5\ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)$.

Réponse : Pour tout $x > 0$ : $$x^2 + 1 = x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)$$ $$\ln(x^2 + 1) = \ln\left(x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)\right) = 2\ln x + \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)$$ $$f(x) = 5\left(2\ln x + \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)\right) - 3x = 10\ln x - 3x + 5\ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) = x\left(10\frac{\ln x}{x} - 3\right) + 5\ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)$$

3. b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

Réponse : $-\infty$

3. b. Justification de la limite en $+\infty$

Réponse : Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, $\lim_{x \to +\infty} \left(10\frac{\ln x}{x} - 3\right) = -3$, d'où $\lim_{x \to +\infty} x\left(10\frac{\ln x}{x} - 3\right) = -\infty$. Comme $\lim_{x \to +\infty} 5\ln(1 + 1/x^2) = 0$, on obtient $-\infty$.