Aufgabe MMS 3 - Aufgabe 2 (c, d) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2025

Unter den Touristen eines Naturparks nutzen erfahrungsgemäß 14 % das Fahrrad für Ausflüge vor Ort. Im Folgenden werden diese Touristen als Radausflügler bezeichnet. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Touristen des Naturparks die Anzahl der Radausflügler binomialverteilt ist.

Der Tourismusverband vermutet, dass der Anteil der Radausflügler unter allen Touristen durch den Einsatz der Shuttlebusse nun $20\,\%$ beträgt. Um bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $90\,\%$ einen Schätzwert für den Anteil der Radausflügler unter den Touristen zu ermitteln, wird eine Stichprobe von 900 zufällig ausgewählten Touristen betrachtet.

Die Abbildung zeigt die Graphen der folgenden für $p \in [0;1]$ definierten Funktionen:

$$g_1: p \mapsto p - 1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{900}}$$

$$g_2: p \mapsto p + 1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{900}}$$

c)

In der Stichprobe werden 153 Radausflügler gezählt. Ermitteln Sie grafisch das zu dieser Anzahl gehörende Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $90\,\%$ und beurteilen Sie damit, ob die Vermutung des Tourismusverbandes mit dem Stichprobenergebnis verträglich ist.

[5 BE]

[

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]

d)

Betrachtet wird eine Stichprobe vom Umfang $n$ mit einem Anteil $h = 0{,}17$ sowie das zu diesem Anteil gehörende Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $90\,\%$. Betrachtet wird die folgende Aussage:

Der Wert $0{,}17$ liegt in der Mitte zwischen $0{,}14$ und $0{,}20$. Trotzdem ist es möglich, dass die Annahme $p = 0{,}14$ mit dem Stichprobenergebnis nicht verträglich ist, die Annahme $p = 0{,}20$ hingegen schon.

Beurteilen Sie diese Aussage unter Verwendung der folgenden beiden Rechnungen:

$$\text{I: } 0{,}17 = 0{,}14 + 1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{0{,}14 \cdot 0{,}86}{n}} \Rightarrow n \approx 359{,}8$$

$$\text{II: } 0{,}17 = 0{,}20 - 1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{0{,}20 \cdot 0{,}80}{n}} \Rightarrow n \approx 478{,}2$$

[5 BE]