Aufgabe WTR 3 - 1 (d-e) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

Ein Unternehmen stellt in großer Stückzahl technische Geräte her. Ein Viertel der hergestellten Geräte ist fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Geräte in einer Stichprobe soll modellhaft als binomialverteilt angenommen werden.

Kurz nach einer Änderung im Herstellungsverfahren stellt das Unternehmen den Anteil fehlerhafter Geräte von $25\,\%$ infrage. Um bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ einen Schätzwert für den Anteil fehlerhafter Geräte zu ermitteln, wird eine Stichprobe von $100$ Geräten betrachtet. Abbildung 1 zeigt die Graphen der folgenden für $p \in [0; 1]$ definierten Funktionen:

$$f\colon p \mapsto p - 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{100}} \qquad g\colon p \mapsto p + 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{100}}$$

d)

Bestimmen Sie grafisch alle möglichen Anzahlen fehlerhafter Geräte in der Stichprobe, für die bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ jeweils Anlass dazu bestehen würde, die Korrektheit des gegebenen Anteils infrage zu stellen.

[3 BE]

e)

Die betrachtete Stichprobe enthält $19$ fehlerhafte Geräte. Bestimmen Sie grafisch das zu dieser Anzahl gehörende Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$.

[3 BE]