Abitur Niedersachsen Mathematik 2018 · GK · Teil A · Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{2}{x^2} + 1$.

a

Skizzieren Sie den Graphen von $f$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{2}{x^2} + 1$.

b

Der Graph von $f$ schließt mit der Gerade mit der Gleichung $y = 1$ sowie den Geraden mit den Gleichungen $x = 1$ und $x = 2$ ein Flächenstück ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto 3 - 2\sin x$.

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Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0 \mid f(0))$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto 3 - 2\sin x$.

b

Geben Sie den Wertebereich von $f$ an.

Ein Behälter enthält zu Beobachtungsbeginn zwei Liter einer Flüssigkeit. Für die anschließenden fünf Stunden gibt die Funktion $f$ mit $f(t) = -t \cdot (t - 4)$ die momentane Zuflussrate der Flüssigkeit in Liter pro Stunde an. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden.

a

Begründen Sie, dass das Volumen der Flüssigkeit im Behälter innerhalb der ersten vier Stunden nach Beobachtungsbeginn durchgehend zunimmt.

[3 BE]

b

Geben Sie eine Gleichung an, mit der berechnet werden kann, wie viele Stunden vom Beobachtungsbeginn an vergehen, bis der Behälter sieben Liter der Flüssigkeit enthält.

[2 BE]