Abitur Niedersachsen Mathematik 2018 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $F(4|4|3)$ sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade $h$ verläuft durch $B$ und $F$.

Die Abbildung zeigt gepunktet die Seiten der Schnittfigur des Quaders und einer Ebene, in der die Punkte $A$ und $C$ sowie ein Punkt $P$ der Gerade $h$ liegen. Diese Ebene zerlegt den Quader in zwei Teilkörper.

Die Punkte der Gerade $h$ lassen sich durch $P_t(4|4|t)$ mit $t \in \mathbb{R}$ darstellen. Für jeden Wert von $t$ liegen $A$, $C$ und $P_t$ in der Ebene $E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4t = 0$. Dabei ist $E_6$ diejenige Ebene, für die in der Abbildung die Seiten der Schnittfigur dargestellt sind.

a)

Begründen Sie, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig und gleichschenklig ist. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks an. [3 BE]

d)

Berechnen Sie das Volumen desjenigen der beiden Teilkörper, zu dem der Punkt $B$ gehört, und erläutern Sie Ihr Vorgehen. [5 BE]

Die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $F(4|4|3)$ sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade $h$ verläuft durch $B$ und $F$.

Die Abbildung zeigt gepunktet die Seiten der Schnittfigur des Quaders und einer Ebene, in der die Punkte $A$ und $C$ sowie ein Punkt $P$ der Gerade $h$ liegen. Diese Ebene zerlegt den Quader in zwei Teilkörper.

Die Punkte der Gerade $h$ lassen sich durch $P_t(4|4|t)$ mit $t \in \mathbb{R}$ darstellen. Für jeden Wert von $t$ liegen $A$, $C$ und $P_t$ in der Ebene $E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4t = 0$. Dabei ist $E_6$ diejenige Ebene, für die in der Abbildung die Seiten der Schnittfigur dargestellt sind.

b)

Geben Sie eine Gleichung der Gerade an, die durch $A$ und $C$ verläuft. Begründen Sie, dass diese Gerade windschief zur Gerade $h$ ist. [3 BE]

c)

Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung ermitteln kann, dass $P$ die $x_3$-Koordinate 6 hat. [3 BE]

e)

Zeigen Sie, dass der Punkt $(0|0|2)$ der Schnittpunkt der Ebene $E_{-2}$ mit der $x_3$-Achse ist. [2 BE]

f)

Es gibt Werte von $t$, für die die Schnittfigur des Quaders und der Ebene $E_t$ nicht die Form eines Vierecks, sondern die eines Dreiecks hat. Geben Sie alle diese Werte von $t$ an und beschreiben Sie in Abhängigkeit von $t$ die Lage der Eckpunkte des Dreiecks. [4 BE]

Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.

Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht 1 m in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem Untergrund austreten, werden durch $P_1(0|0|0)$ und $P_2(5|10|0)$ dargestellt. Außerdem sind die Koordinaten der Eckpunkte $A(3|0|2)$, $B(0|3|2)$, $E(6|0|0)$, $F(0|6|0)$, $R(5|7|3)$, $S(8|13|3)$ und $T(2|10|3)$ gegeben. Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.

a

In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt, das 20 % länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte. Berechnen Sie die Länge des Seils.

b

Die Punkte A, B, E und F liegen in der Ebene $L: 2x_1 + 2x_2 + 3x_3 - 12 = 0$.

Zeigen Sie, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

c

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.

Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.

Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht 1 m in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem Untergrund austreten, werden durch $P_1(0|0|0)$ und $P_2(5|10|0)$ dargestellt. Außerdem sind die Koordinaten der Eckpunkte $A(3|0|2)$, $B(0|3|2)$, $E(6|0|0)$, $F(0|6|0)$, $R(5|7|3)$, $S(8|13|3)$ und $T(2|10|3)$ gegeben. Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.

d

Auf die Anlage treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Die Eckpunkte der Plattform 2 werden durch R, S und T dargestellt, die zugehörigen Eckpunkte des Schattens dieser Plattform durch R'(4|2|0), S' bzw. T'(1|5|0).

Zeigen Sie rechnerisch, dass T' auf der Strecke $\overline{EF}$ liegt. Berechnen Sie die Koordinaten von S' und stellen Sie den Schatten der Plattform 2 in der obigen Abbildung grafisch dar.

S'( | |)

e

Über ein Drahtseil kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Der eine Endpunkt dieses Seils ist am Pfahl 1 auf der Höhe der Plattform 1 befestigt, der andere am Pfahl 2 oberhalb der Plattform 2. Das Seil ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es geradlinig verläuft. Es berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch $\overline{RT}$ dargestellt wird.

Betrachtet wird derjenige Endpunkt des Seils, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Beschreiben Sie, wie man den Abstand dieses Endpunkts von der Plattform 2 berechnen könnte, wenn bekannt wäre, in welchem Verhältnis die durch $\overline{RT}$ dargestellte Seite der Plattform durch den Berührpunkt des Seils geteilt wird.