Abitur Bayern Mathematik 2017 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier $4{,}50\text{ m}$ langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von $z$ mit $z \in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Punkte $A(2|-3|z)$, $\text{B}$, $\text{C}$ und $D(-3|-2|z)$ sowie $E(2|-3|4)$, $F(3|2|4)$, $G(-2|3|4)$ und $\text{H}$ dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den Punkt $S(0|0|5)$. Dabei beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a)

Geben Sie an, wie tief die Pfosten in den Untergrund hineinreichen.

b)

Geben Sie die Koordinaten des Punkts $H$ an. Weisen Sie nach, dass das Viereck $EFGH$ ein Quadrat ist.

c)

Begründen Sie, dass die Pyramide $EFGHS$ symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse ist.

e)

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche, die durch das Dreieck $EFS$ dargestellt wird, gegenüber der Horizontalen.

g)

Zur Stabilisierung des Turms wurden zusätzliche Balken mit einer Länge von $2{,}10\text{ m}$ verwendet. Ein solcher Balken ist mit einem Ende in einer Höhe von $3{,}50\text{ m}$ über dem Untergrund an einem der vertikal stehenden Pfosten befestigt, mit dem anderen Ende an einem der beiden darauf liegenden horizontalen Balken. Der obere Befestigungspunkt teilt den horizontalen Balken in zwei Abschnitte. Bestimmen Sie das Verhältnis der Längen der beiden Abschnitte.

h)

Es soll eine vertikale Kletterstange aufgestellt werden, deren Fußpunkt im Modell durch einen Punkt $P$ der $x_1x_2$-Ebene beschrieben wird. Die Kletterstange soll von dem Pfosten, der durch $\overline{AE}$ dargestellt wird, doppelt so weit entfernt sein wie von dem Pfosten, der durch $\overline{BF}$ dargestellt wird. Bestimmen Sie für zwei mögliche Positionen der Kletterstange jeweils die Koordinaten von $P$.

Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier $4{,}50\text{ m}$ langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von $z$ mit $z \in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Punkte $A(2|-3|z)$, $\text{B}$, $\text{C}$ und $D(-3|-2|z)$ sowie $E(2|-3|4)$, $F(3|2|4)$, $G(-2|3|4)$ und $\text{H}$ dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den Punkt $S(0|0|5)$. Dabei beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

d)

Die Punkte $E$, $F$ und $S$ liegen in einer Ebene $L$. Bestimmen Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

(\text{zur Kontrolle: } 5x_1 - x_2 + 13x_3 = 65)

f)

An der Spitze des Dachs ist eine gerade Stange befestigt, deren oberer Endpunkt im Modell durch einen Punkt $T$ dargestellt wird. Auf den Turm treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$ beschreiben. Der Schatten der Stange liegt vollständig auf der Dachfläche, die durch das Dreieck $EFS$ beschrieben wird. Beschreiben Sie, wie man die Länge dieses Schattens berechnen kann, wenn die Koordinaten von $T$ und $\vec{v}$ bekannt sind.

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet 1 · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · AG/LA (A2) · CAS

Aufgabe

Ein geschlossenes Zelt, das auf horizontalem Untergrund steht, hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die seitlichen Kanten der Zeltwände werden durch vier gleich lange Stangen gebildet. Das Zelt ist $3{,}90\text{ m}$ hoch, die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt $5{,}00\text{ m}$.

Das Zelt kann in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine Pyramide $ABCDS$ mit der Spitze $S$ modellhaft dargestellt werden. Der Punkt $A$ liegt im Koordinatenursprung, $B$ auf dem positiven Teil der $x$-Achse und $D$ auf dem positiven Teil der $y$-Achse. Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $(5 \mid 5 \mid 0)$, der Mittelpunkt der Grundfläche wird mit $M$ bezeichnet. Das Dreieck $ABS$ liegt in der Ebene $E: -39y + 25z = 0$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Betrachtet wird die Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck $CDS$ dargestellt wird. Ein Teil dieser Zeltwand kann mithilfe zweier weiterer Stangen zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende Öffnung in der Zeltwand kann im Modell durch ein Rechteck dargestellt werden. Eine Seite dieses Rechtecks liegt so auf der Strecke $\overline{CD}$, dass der eine Endpunkt dieser Seite von $C$ ebenso weit entfernt ist wie der andere Endpunkt von $D$.

1 verwendete Abkürzungen: AG/LA (A1) – Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A1), AG/LA (A2) – Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A2)

a

Geben Sie die Koordinaten der Punkte $B$, $D$, $M$ und $S$ an und zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem gemäß Abbildung 1 ein.

b

Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Inneren des Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermitteln Sie dessen Größe.

°

c

Im Zelt ist eine Lichtquelle so aufgehängt, dass sie von jeder der vier Wände einen Abstand von $80\text{ cm}$ hat. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts, der die Lichtquelle im Modell darstellt.

d

Der Ortsvektor eines Punkts $P$ lässt sich in der Form $\vec{OP} = r \cdot \vec{OC} + s \cdot \vec{OS}$ mit $r, s \in [0;1]$ und $r + s = 1$ darstellen. Weisen Sie nach, dass $P$ auf der Strecke $\overline{CS}$ liegt.

e

Betrachtet wird die Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck $CDS$ dargestellt wird. Ein Teil dieser Zeltwand kann mithilfe zweier weiterer Stangen zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende Öffnung in der Zeltwand kann im Modell durch ein Rechteck dargestellt werden. Eine Seite dieses Rechtecks liegt so auf der Strecke $\overline{CD}$, dass der eine Endpunkt dieser Seite von $C$ ebenso weit entfernt ist wie der andere Endpunkt von $D$.

Weisen Sie nach, dass die Länge des Vordachs etwa $2{,}14\text{ m}$ beträgt.

Alle Punkte derjenigen Kante des Vordachs, an deren Enden die beiden Stangen befestigt sind, haben im Modell die gleiche y-Koordinate. Bestimmen Sie diese y-Koordinate.

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet 1 · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · AG/LA (A2) · CAS

Aufgabe

Ein geschlossenes Zelt, das auf horizontalem Untergrund steht, hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die seitlichen Kanten der Zeltwände werden durch vier gleich lange Stangen gebildet. Das Zelt ist $3{,}90\text{ m}$ hoch, die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt $5{,}00\text{ m}$.

Das Zelt kann in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine Pyramide $ABCDS$ mit der Spitze $S$ modellhaft dargestellt werden. Der Punkt $A$ liegt im Koordinatenursprung, $B$ auf dem positiven Teil der $x$-Achse und $D$ auf dem positiven Teil der $y$-Achse. Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $(5 \mid 5 \mid 0)$, der Mittelpunkt der Grundfläche wird mit $M$ bezeichnet. Das Dreieck $ABS$ liegt in der Ebene $E: -39y + 25z = 0$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Betrachtet wird die Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck $CDS$ dargestellt wird. Ein Teil dieser Zeltwand kann mithilfe zweier weiterer Stangen zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende Öffnung in der Zeltwand kann im Modell durch ein Rechteck dargestellt werden. Eine Seite dieses Rechtecks liegt so auf der Strecke $\overline{CD}$, dass der eine Endpunkt dieser Seite von $C$ ebenso weit entfernt ist wie der andere Endpunkt von $D$.

1 verwendete Abkürzungen: AG/LA (A1) – Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A1), AG/LA (A2) – Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A2)

f

Auf das Zelt treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell zu einem bestimmten Zeitpunkt durch parallele Geraden mit einem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ -4{,}2 \\ a \end{pmatrix}$ beschreiben. Zu diesem Zeitpunkt trifft Sonnenlicht durch ein kleines Loch im horizontalen Vordach genau auf den Mittelpunkt des Zeltbodens.

Für $a$ kommen verschiedene ganzzahlige Werte infrage. Ermitteln Sie einen dieser Werte und geben Sie die Koordinaten des zugehörigen Punkts an, der im Modell eine mögliche Position des Lochs im Vordach darstellt.

$($

$\mid$

$\mid$

$)$