Abitur Bayern Mathematik 2017 · GK · Teil B · Analysis (CAS)

In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt, eine Zeit lang bei konstanter Temperatur gehalten und anschließend wieder abgekühlt.

1 Betrachtet wird zunächst ein Vorgang, bei dem der Temperaturverlauf durchgehend gesteuert wird. In der Tabelle sind Ergebnisse einer Temperaturmessung angegeben.

Zeit in Minuten · 0 · 2 · 4 · 10 · 15 · 20 · 40 · 60 · 80

Temperatur in °C · 23,0 · 54,0 · 76,9 · 76,8 · 77,3 · 76,8 · 37,9 · 26,0 · 23,2

Der Temperaturverlauf kann während des Erhitzens und während des Abkühlens mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(t) = 23 + 20 \cdot t \cdot e^{-\frac{1}{10}t}$ modellhaft beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f(t)$ die Temperatur in °C.

a)

Geben Sie an, welche Temperaturen die Funktion $f$ für den Beginn des Vorgangs und für den Zeitpunkt zwei Minuten nach diesem Beginn liefert. Bestimmen Sie jeweils die prozentuale Abweichung von den angegebenen Messwerten.

c)

Skizzieren Sie den Graphen von $f$ für $0 \leq t \leq 80$ in einem Koordinatensystem. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen für große Werte von $t$ und deuten Sie diesen Verlauf im Sachzusammenhang.

d)

Der Zeitabschnitt, in dem die Flüssigkeit konstant bei $77\,^\circ\mathrm{C}$ gehalten wird, entspricht im Modell dem Intervall, in dem die Funktion $f$ mindestens diese Temperatur liefert. Bestimmen Sie den Zeitabschnitt und stellen Sie den zugehörigen Temperaturverlauf im Koordinatensystem aus Teilaufgabe c dar.

In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt, eine Zeit lang bei konstanter Temperatur gehalten und anschließend wieder abgekühlt.

1 Betrachtet wird zunächst ein Vorgang, bei dem der Temperaturverlauf durchgehend gesteuert wird. In der Tabelle sind Ergebnisse einer Temperaturmessung angegeben.

Zeit in Minuten · 0 · 2 · 4 · 10 · 15 · 20 · 40 · 60 · 80

Temperatur in °C · 23,0 · 54,0 · 76,9 · 76,8 · 77,3 · 76,8 · 37,9 · 26,0 · 23,2

Der Temperaturverlauf kann während des Erhitzens und während des Abkühlens mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(t) = 23 + 20 \cdot t \cdot e^{-\frac{1}{10}t}$ modellhaft beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f(t)$ die Temperatur in °C.

b)

Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ genau einen Extrempunkt hat, und vergleichen Sie die zu diesem Punkt gehörende Temperatur mit den angegebenen Messwerten.

f)

Ermitteln Sie für die Phase des Abkühlens denjenigen Zeitpunkt, für den die Werte der Funktion $f$ und der Funktion $h$ mit $b = 197{,}4$ und $c = -0{,}065$ am stärksten voneinander abweichen. Geben Sie die zugehörige Abweichung an.

In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt, eine Zeit lang bei konstanter Temperatur gehalten und anschließend wieder abgekühlt.

1 Betrachtet wird zunächst ein Vorgang, bei dem der Temperaturverlauf durchgehend gesteuert wird. In der Tabelle sind Ergebnisse einer Temperaturmessung angegeben.

Zeit in Minuten · 0 · 2 · 4 · 10 · 15 · 20 · 40 · 60 · 80

Temperatur in °C · 23,0 · 54,0 · 76,9 · 76,8 · 77,3 · 76,8 · 37,9 · 26,0 · 23,2

Der Temperaturverlauf kann während des Erhitzens und während des Abkühlens mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(t) = 23 + 20 \cdot t \cdot e^{-\frac{1}{10}t}$ modellhaft beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f(t)$ die Temperatur in °C.

Betrachtet wird nun ein Vorgang, bei dem die Steuerung des Temperaturverlaufs zwanzig Minuten nach Beginn des Vorgangs abgeschaltet wird. Das anschließende Abkühlen der Flüssigkeit lässt sich für $t \geq 20$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(t) = 23 + b \cdot e^{c \cdot t}$ und $b, c \in \mathbb{R}$ beschreiben.

e)

Zu Beginn des Abkühlens soll die Temperatur $77\,^\circ\mathrm{C}$ und die momentane Änderungsrate der Temperatur $-3{,}5\,^\circ\mathrm{C}$ pro Minute betragen. Bestimmen Sie die passenden Werte von $b$ und $c$.

2 Die Steuerung kann so variiert werden, dass sich der Temperaturverlauf während des gesamten Vorgangs für $t \ge 0$ durch eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $$f_k(t) = 23 + 20 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t} \quad\text{und}\quad k \in \mathbb{R}^+$$ beschreiben lässt. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f_k(t)$ die Temperatur in $^{\circ}\mathrm{C}$.

a)

Die in Abbildung 1 dargestellten Graphen A, B und C gehören jeweils zu einem der Werte $k = 0{,}5$, $k = 2$ und $k = 5$. Ordnen Sie jedem dieser Werte den zugehörigen Graphen zu.

$k = 0{,}5$:

$k = 2$:

$k = 5$:

b)

Begründen Sie, dass der in Abbildung 1 dargestellte Graph D nicht zu einer der Funktionen $f_k$ gehören kann.

2 Die Steuerung kann so variiert werden, dass sich der Temperaturverlauf während des gesamten Vorgangs für $t \ge 0$ durch eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $$f_k(t) = 23 + 20 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t} \quad\text{und}\quad k \in \mathbb{R}^+$$ beschreiben lässt. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f_k(t)$ die Temperatur in $^{\circ}\mathrm{C}$.

c)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $k$, für den die Flüssigkeit im Modell eine Höchsttemperatur von $98^\circ\text{C}$ erreicht.

d)

Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f_k$ in Abhängigkeit von $k$. Beschreiben Sie die Bedeutung der x-Koordinate des Wendepunkts im Sachzusammenhang.

2 Die Steuerung kann so variiert werden, dass sich der Temperaturverlauf während des gesamten Vorgangs für $t \ge 0$ durch eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $$f_k(t) = 23 + 20 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t} \quad\text{und}\quad k \in \mathbb{R}^+$$ beschreiben lässt. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f_k(t)$ die Temperatur in $^{\circ}\mathrm{C}$.

e

Der in Abbildung 2 dargestellte Graph gibt für einen gesteuerten Temperaturverlauf die Änderungsrate der Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit an, die seit Beginn des Vorgangs vergangen ist.

Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Änderung der Temperatur in den ersten vier Minuten nach Beginn des Vorgangs und geben Sie an, ob die Temperatur zu- oder abnimmt.

Skizzieren Sie für die ersten zwölf Minuten des Vorgangs den Graphen eines möglichen Temperaturverlaufs.