Abitur Bayern Mathematik 2017 · GK · Teil A · Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $A(-2|1|-2)$, $B(1|2|-1)$ und $C(1|1|4)$ sowie für eine reelle Zahl $d$ der Punkt $D(d|1|4)$.

a

Zeigen Sie, dass $A$, $B$ und $C$ Eckpunkte eines Dreiecks sind, und geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in der dieses Dreieck liegt.

Gegeben sind die Punkte $A(-2|1|-2)$, $B(1|2|-1)$ und $C(1|1|4)$ sowie für eine reelle Zahl $d$ der Punkt $D(d|1|4)$.

b

Das Dreieck $ABD$ ist im Punkt $B$ rechtwinklig. Ermitteln Sie den Wert von $d$.

Gegeben sind die Punkte $A(-2|1|-2)$, $B(1|2|-1)$ und $C(1|1|4)$ sowie für eine reelle Zahl $d$ der Punkt $D(d|1|4)$.

Gegeben ist das Quadrat $ABCD$ mit $A(3|3|4)$, $B(6|7|4)$, $C(2|10|4)$ und $D(-1|6|4)$. Das Quadrat liegt in der Ebene mit der Gleichung $z = 4$.

a

Weisen Sie nach, dass das Quadrat den Flächeninhalt $25$ besitzt.

b

Es gibt Punkte $S$, für die die Pyramide $ABCDS$ das Volumen $50$ hat. Bestimmen Sie die $z$-Koordinate eines dieser Punkte.

Gegeben sind der Punkt $P(-3|2|1)$, die Gerade $g: \vec{x} = \vec{OP} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl $a$ der Punkt $Q(0|a|0)$. Die Strecke $\overline{PQ}$ steht senkrecht zu $g$.

a

Bestimmen Sie den Wert von $a$. [2 BE]

b

Zwei Werte $r_1$ und $r_2$ des Parameters $r$ liefern die Ortsvektoren zweier Punkte $R_1$ und $R_2$ der Geraden $g$. Geben Sie alle Wertepaare $(r_1; r_2)$ an, für die $R_1$ und $R_2$ den gleichen Abstand vom Punkt $Q$ haben. Begründen Sie Ihre Angabe. [3 BE]