Abitur Bayern Mathematik 2017 · GK · Teil B · Analysis (WTR)

In einer Senke verläuft ein Fluss. Abbildung 1 zeigt modellhaft einen Querschnitt der Senke und der beiden horizontalen Uferzonen.

Im Querschnitt kann die Profillinie der Senke modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = -5x^2e^x + 1$ und $x \in [-6; 0]$ beschrieben werden. Die Wasseroberfläche wird im Modell durch einen Abschnitt der $x$-Achse dargestellt, die Uferzonen durch zwei Strecken, die jeweils parallel zur $x$-Achse verlaufen und lückenlos an den Graphen von $f$ anschließen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Zur Funktion $f$ sind Gleichungen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:

$f'(x) = -5x \cdot (2 + x) \cdot e^x$

$f''(x) = -10e^x - 20xe^x - 5x^2e^x$

$F(x) = x - 5 \cdot (x^2 - 2x + 2) \cdot e^x$

a)

Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen den beiden Uferzonen.

b)

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 1, wie breit die Senke einen Meter unterhalb der Wasseroberfläche ist.

c)

Deuten Sie die Gleichung $f(x+3)=f(x)$ im Sachzusammenhang und bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 1 eine Lösung der Gleichung.

Über die Senke soll eine Brücke gebaut werden. Das eine Ende der Brücke soll auf der linken Uferzone aufliegen, das andere Ende auf einem Sockel am rechten Ufer. Die Profillinie der Brücke wird im Modell durch eine Strecke dargestellt, der Auflagepunkt am rechten Ufer durch den Punkt $B(0|1{,}1)$.

f)

Berechnen Sie die Länge der Brücke sowie deren Steigung in Prozent, wenn der linke Auflagepunkt im Modell durch den Punkt $A(-6|f(-6))$ dargestellt würde.

g)

Ermitteln Sie, wie weit das linke Ende der Brücke vom Rand der Senke entfernt läge, wenn die Brücke eine Steigung von $6\,\%$ hätte.

In einer Senke verläuft ein Fluss. Abbildung 1 zeigt modellhaft einen Querschnitt der Senke und der beiden horizontalen Uferzonen.

Im Querschnitt kann die Profillinie der Senke modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = -5x^2e^x + 1$ und $x \in [-6; 0]$ beschrieben werden. Die Wasseroberfläche wird im Modell durch einen Abschnitt der $x$-Achse dargestellt, die Uferzonen durch zwei Strecken, die jeweils parallel zur $x$-Achse verlaufen und lückenlos an den Graphen von $f$ anschließen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Zur Funktion $f$ sind Gleichungen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:

$f'(x) = -5x \cdot (2 + x) \cdot e^x$

$f''(x) = -10e^x - 20xe^x - 5x^2e^x$

$F(x) = x - 5 \cdot (x^2 - 2x + 2) \cdot e^x$

d)

Leiten Sie aus der Funktionsgleichung von $f$ die angegebene Funktionsgleichung von $f'$ her.

e)

Berechnen Sie die Tiefe des Wassers an der tiefsten Stelle der Senke.

h)

Zwischen dem tiefsten Punkt der Senke und ihrem rechten Rand gibt es einen Punkt, in dem die Profillinie ihren größten Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen hat. Berechnen Sie die Größe dieses Neigungswinkels.

In einer Senke verläuft ein Fluss. Abbildung 1 zeigt modellhaft einen Querschnitt der Senke und der beiden horizontalen Uferzonen.

Im Querschnitt kann die Profillinie der Senke modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = -5x^2e^x + 1$ und $x \in [-6; 0]$ beschrieben werden. Die Wasseroberfläche wird im Modell durch einen Abschnitt der $x$-Achse dargestellt, die Uferzonen durch zwei Strecken, die jeweils parallel zur $x$-Achse verlaufen und lückenlos an den Graphen von $f$ anschließen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Zur Funktion $f$ sind Gleichungen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:

$f'(x) = -5x \cdot (2 + x) \cdot e^x$

$f''(x) = -10e^x - 20xe^x - 5x^2e^x$

$F(x) = x - 5 \cdot (x^2 - 2x + 2) \cdot e^x$

i)

Das Produkt aus dem Flächeninhalt des Flussquerschnitts (in $\mathrm{m^2}$) und der Fließgeschwindigkeit des Wassers (in $\mathrm{\frac{m}{s}}$) wird als Durchflussrate bezeichnet. Die Fließgeschwindigkeit des Wassers beträgt $0{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}$. Der Abschnitt der x-Achse, der die Wasseroberfläche im Modell darstellt, wird näherungsweise durch $x \approx -4{,}7$ und $x \approx -0{,}6$ begrenzt. Berechnen Sie die Durchflussrate.

2 Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktion $g$ vierten Grades.

a)

Begründen Sie, dass der Graph von $g$ außerhalb des abgebildeten Bereichs keine Extrempunkte besitzt.

b)

Betrachtet wird die Gleichung $g(x) = a$ mit $a \in \mathbb{R}$. Geben Sie alle Werte von $a$ an, für die die Gleichung genau drei Lösungen hat.

c)

Untersuchen Sie, ob der Wert des Terms $g'(3) \cdot g''(3)$ positiv ist.