Abitur Bayern Mathematik 2017 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Die abgebildete Pagode, Zeichen ostasiatischer Architektur, steht im Hamburger Tierpark Hagenbeck. Jede der drei Dachetagen besteht aus vier Dachflächen gleicher Form und Größe. Die Dachflächen der mittleren und oberen Etage sind jeweils parallel zu einer Dachfläche der unteren Etage.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Dachflächen der unteren Etage modellhaft als Vierecke dargestellt werden. Die Punkte $A_1(5{,}5|-5{,}5|6)$, $B_1(5{,}5|5{,}5|6)$, $C_1(-5{,}5|5{,}5|6)$, $D_1(-5{,}5|-5{,}5|6)$, $A_2(2|-2|8{,}1)$, $B_2(2|2|8{,}1)$, $C_2(-2|2|8{,}1)$ und $D_2(-2|-2|8{,}1)$ sind die Eckpunkte dieser vier Vierecke. Dabei beschreibt die xy-Ebene die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

a

Zeichnen Sie in das abgebildete Koordinatensystem für die untere Dachetage die fehlenden Eckpunkte sowie die Strecken ein, die die Kanten der Dachflächen darstellen.

b

Zeigen Sie rechnerisch, dass das Viereck $A_1B_1B_2A_2$ ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. Begründen Sie, dass es sich nicht um ein Parallelogramm handelt.

c

Geben Sie die Koordinaten der Mittelpunkte $M_1$ und $M_2$ der Seiten $A_1B_1$ bzw. $A_2B_2$ an. Berechnen Sie den gesamten Inhalt der Dachflächen der unteren Etage in Quadratmetern.

(

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)

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)

e

Das Viereck $A_1B_1B_2A_2$ liegt in der Ebene $E: 3x + 5z = 46{,}5$ und stellt die untere der drei Dachflächen auf der Südseite der Pagode dar.

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels dieser Dachfläche gegenüber der Horizontalen.

Die abgebildete Pagode, Zeichen ostasiatischer Architektur, steht im Hamburger Tierpark Hagenbeck. Jede der drei Dachetagen besteht aus vier Dachflächen gleicher Form und Größe. Die Dachflächen der mittleren und oberen Etage sind jeweils parallel zu einer Dachfläche der unteren Etage.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Dachflächen der unteren Etage modellhaft als Vierecke dargestellt werden. Die Punkte $A_1(5{,}5|-5{,}5|6)$, $B_1(5{,}5|5{,}5|6)$, $C_1(-5{,}5|5{,}5|6)$, $D_1(-5{,}5|-5{,}5|6)$, $A_2(2|-2|8{,}1)$, $B_2(2|2|8{,}1)$, $C_2(-2|2|8{,}1)$ und $D_2(-2|-2|8{,}1)$ sind die Eckpunkte dieser vier Vierecke. Dabei beschreibt die xy-Ebene die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

d

Die Strecke $\overline{A_1A_2}$ ist Teil einer Geraden $g$. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ mit der $z$-Achse.

(

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)

f

Auch die beiden Dachflächen der mittleren und oberen Etage auf der Südseite der Pagode können im Modell jeweils durch ein Viereck dargestellt werden. Die Ebenen, in denen diese beiden Vierecke liegen, werden durch zwei der folgenden Gleichungen beschrieben. Ordnen Sie die beiden Dachflächen jeweils einer Gleichung zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

I $3x + 8z = 46{,}5$

II $3x + 5z = 24{,}5$

III $3x + 5z = 58$

IV $3x + 10z = 46{,}5$

V $3x + 5z = 35$

VI $3x + 5z = 68{,}5$

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|1)$, $B(2|6|1)$ und $C(-4|8|5)$ gegeben.

Modellierung einer Solaranlage

Solarmodule werden auf einem Trägergestell montiert, das an einem vertikal stehenden Metallrohr befestigt ist. Die gesamte Fläche der Solarmodule wird modellhaft durch das Rechteck $ABCD$ dargestellt, der Befestigungspunkt des Metallrohrs am Trägergestell durch den Punkt $M$ (vgl. Abbildung). Im Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund, auf dem das Metallrohr steht; eine Längeneinheit entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a)

Begründen Sie, dass die Gerade AB parallel zur $x_1x_2$-Ebene verläuft. [2 BE]

d)

Das Rechteck ABCD liegt in einer Ebene E. Ermitteln Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform. [4 BE]

(zur Kontrolle: $3x_1 - x_2 + 5x_3 - 5 = 0$)

f)

Das Metallrohr lässt sich im Modell durch eine Strecke darstellen. Geben Sie eine Gleichung dieser Strecke an. [2 BE]

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|1)$, $B(2|6|1)$ und $C(-4|8|5)$ gegeben.

Modellierung einer Solaranlage

Solarmodule werden auf einem Trägergestell montiert, das an einem vertikal stehenden Metallrohr befestigt ist. Die gesamte Fläche der Solarmodule wird modellhaft durch das Rechteck $ABCD$ dargestellt, der Befestigungspunkt des Metallrohrs am Trägergestell durch den Punkt $M$ (vgl. Abbildung). Im Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund, auf dem das Metallrohr steht; eine Längeneinheit entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

b)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $M(-2|4|3)$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AC}$ ist;

das Dreieck $ABC$ bei $B$ einen rechten Winkel hat.

[4 BE]

c)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts D, für den das Viereck ABCD ein Rechteck ist. [1 BE]

| |

e)

Im Sinne eines möglichst großen Energieertrags sollte die Größe des Neigungswinkels der Modulfläche gegenüber der Horizontalen zwischen $30^\circ$ und $36^\circ$ liegen. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist. [3 BE]

°

Ist die Bedingung erfüllt?

Ja

Nein

g)

Zum betrachteten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, senkrecht auf die Fläche der Solarmodule. Diese Fläche erzeugt auf dem horizontalen Untergrund einen rechteckigen Schatten. Begründen Sie die folgende Aussage unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze:

Der Flächeninhalt des Rechtecks, das den Schatten im Modell darstellt, ist größer als der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD.

[4 BE]