Problema 2 · Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha Extraordinaria 2023

2. Una empresa desea construir un aparcamiento para sus empleados y necesita vallarlo de manera que la región resultante sea un rectángulo más medio círculo, tal y como se ve en la figura adjunta. El rectángulo tiene de lados $h, r \in \mathbb{R}$, de manera que el radio del semicírculo es $h/2$. La empresa tiene solamente presupuesto para comprar una valla de 80 metros de longitud, que ha de ser el perímetro del aparcamiento. La empresa desea construir un aparcamiento con el mayor área posible con ese perímetro de 80 metros.

a)

[1 punto] Escribe el área del aparcamiento en función del valor $h$.

b)

[1,5 puntos] ¿Cuánto deben valer $h$ y $r$ para que el área del aparcamiento sea lo mayor posible?