Pregunta 8 · Fundamentos de Matemáticas UOC 2020

Dada la función definida a trozos mediante expresiones polinómicas dependientes de un parámetro, estudiad para qué valores del parámetro la función es continua en toda la recta real.

Solución: 1. Al estar formada por tramos polinómicos, la función es continua en cualquier intervalo abierto donde no haya cambio de definición. 2. En el punto de frontera o empalme $x = c$, la continuidad exige que existan y coincidan el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función: $$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$$ Igualando estas expresiones se obtiene una ecuación respecto al parámetro, cuyo valor asegura la continuidad en todo $\mathbb{R}$.