Problema 1 · Física II UB 2019

a) Calculeu les densitats de càrrega superficials del conductor i expresseu el camp elèctric a totes les regions de l'espai.

Solución: Densitats de càrrega: $\sigma_a = 0$, $\sigma_b = \frac{Q}{4\pi b^2}$. Camp elèctric: $\vec{E} = 0$ per a $r < b$; $\vec{E} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{a}_r$ per a $r > b$.

b) Trobeu l'expressió de la capacitat pròpia del conductor A així com de la seva energia electrostàtica acumulada.

Solución: $C = 4\pi\varepsilon_0 b$; $U = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 b}$

c) Obtingueu les densitats superficials de càrrega a totes les superfícies del condensador resultant i el camp elèctric arreu de l'espai.

Solución: Densitats superficials de càrrega: $\sigma_a = 0$, $\sigma_b = \frac{Q}{4\pi b^2}$, $\sigma_c = -\frac{Q}{4\pi c^2}$, $\sigma_d = 0$. Camp elèctric: $\vec{E} = 0$ per a $r < b$; $\vec{E} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{a}_r$ per a $b < r < c$; $\vec{E} = 0$ per a $r > c$.

d) Deduïu la capacitat del condensador esfèric format i la seva energia electrostàtica emmagatzemada.

Solución: $C = 4\pi\varepsilon_0 \frac{bc}{c - b}$; $U = \frac{Q^2 (c - b)}{8\pi\varepsilon_0 bc}$

Esbossos gràfics del mòdul del camp elèctric E en funció de r per als apartats a) i c)

Solución: Apartat a: El mòdul del camp val 0 per a tot $r < b$, presenta una discontinuïtat a $r = b$ assolint el valor màxim $E(b^+) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 b^2}$, i decau proporcionalment a $1/r^2$ cap a zero quan $r \to \infty$. Apartat c: El camp és nul a $r < b$; salta a $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 b^2}$ en $r = b$; decreix segons $1/r^2$ fins a $r = c$, on val $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 c^2}$, i cau a 0 per a $r > c$.