Examen de Física I UB 2021 · parcial octubre 2021

Problema 1 (3 punts). Llançament parabòlic a porteria

En Lionel xuta una pilota de massa $m = 500\text{ g}$ des d'una distància $D = 10\text{ m}$ en línia recta respecte a una porteria d'alçada $H = 2{,}5\text{ m}$. L'angle d'elevació del tret és $\alpha = 30^\circ$ respecte a l'horitzontal i la pilota surt amb un mòdul de velocitat inicial $V_0$. Considereu $g = 10\text{ m/s}^2$.

a)

Definiu les equacions temporals del moviment per a la posició horitzontal, $x(t)$, i vertical, $y(t)$, prenent l'origen de coordenades a la posició de llançament $O(0,0)$ a l'instant $t = 0$.

b)

Determineu l'equació explícita de la trajectòria $y(x)$ en funció de la velocitat inicial $V_0$.

c)

Calculeu el límit superior que pot prendre el mòdul de la velocitat inicial, $V_0$, perquè la pilota s'introdueixi dins de la porteria.

Problema 2 (3 punts). Moviment en un bucle vertical

Un bloc de massa $m = 1\text{ kg}$ parteix del repòs des d'una cota $h$ i llisca sense fricció per una guia que enllaça amb un bucle circular de radi $R = 2\text{ m}$, tal com es mostra a l'esquema. Preneu $g = 10\text{ m/s}^2$.

a)

Trobeu la velocitat del cos en el punt inferior de la pista (punt A) i en el punt B (a una alçada $R$ respecte de la base), expressades en funció de $h$.

b)

Obtingueu les components tangencial i normal de l'acceleració que experimenta el bloc en passar pels punts B i C (en funció de $g$, $h$ i $R$, o amb els valors de $g$ i $R$ ja substituïts).

c)

Deduïu la força de contacte normal que el carril exerceix sobre el mòbil en els punts B i C, sota la condició que el mòbil no se separi de la guia.

d)

Determineu l'alçada mínima d'alliberament, $h_{\text{mín}}$, per tal que el bloc completi el bucle superant el punt C sense caure. Si la massa del bloc s'incrementés per un factor de 10, de quina manera es veuria afectada aquesta cota mínima?

Qüestió 1 (2 punts). Anàlisi de l'energia potencial d'una partícula

Una partícula puntual de massa $m = 1\text{ kg}$ es mou al llarg de l'eix $x$ sotmesa a una força conservativa associada a l'energia potencial:

$$U(x) = 1 + x(x - 2)^2 \quad \text{(en unitats del SI)}$$

on $x$ és la posició en metres.

a)

Localitzeu els punts d'equilibri del sistema i classifiqueu-los segons la seva estabilitat.

b)

Determineu la funció que descriu la força $F(x)$.

c)

Si en un determinat moment la partícula es troba a $x = 1\text{ m}$ i té una energia mecànica total $E = 2\text{ J}$, calculeu la força i l'acceleració que experimenta en aquest punt, indicant el seu sentit.

d)

Empreu la representació gràfica per estimar els punts de retorn del moviment per a aquesta energia.

e)

Quin és el valor màxim del mòdul de la velocitat que pot assolir la partícula al llarg de la seva trajectòria?

Qüestió 2 (2 punts). Dinàmica d'un cos penjat en un ascensor

Un cos de massa $m = 0{,}5\text{ kg}$ penja del sostre d'un ascensor mitjançant una corda ideal. Quan l'ascensor és en moviment, la tensió mesurada a la corda és $T = 3\text{ N}$. Considereu $g = 10\text{ m/s}^2$.

a.

Dibuixeu el diagrama de forces que actuen sobre el cos i escriviu la segona llei de Newton respecte d'un sistema de referència inercial.

b.

Calculeu el valor de l'acceleració de l'ascensor respecte d'aquest sistema inercial, especificant si el seu sentit és cap amunt o cap avall.

Cap amunt

Cap avall

c.

Formuleu la segona llei de Newton per a l'objecte des de la perspectiva d'un sistema de referència no inercial solidari a l'ascensor.

d.

Calculeu el mòdul i indiqueu el sentit (cap amunt o cap avall) de la força fictícia o d'inèrcia que hom ha d'introduir quan s'analitza el cos des del sistema de referència de l'ascensor.

Cap amunt

Cap avall