Examen de Fundamentos de Mecánica UB 2022 · Avaluació continuada: Prova 4 (Tema 4 - Sòlid Rígid) Desembre 2022

P1. Dinàmica i conservació en la rotació i col·lisió d'una barra

Una barra homogènia de longitud $\ell$ i massa $M$ té un dels seus extrems fixat en el punt articulat $O$, situat al centre d'una pista circular vertical de radi $\ell$, tal com es representa a la figura adjunta. En la posició inicial, la barra es troba en repòs orientada verticalment cap amunt. En deixar-la anar sense velocitat inicial, comença a girar cap a l'esquerra dins del pla vertical fins a topar amb una partícula de massa $m$ que està en repòs a la part més baixa de la pista. Com a conseqüència del xoc, la massa queda unida rígidament a l'extrem de la barra. Es considera negligible qualsevol tipus de fregament amb les superfícies de contacte.

a.

Justifiqueu si al llarg del trajecte que va des de l'alliberament de la barra fins a l'instant immediatament anterior a la col·lisió es conserven el moment angular i l'energia mecànica del sistema.

b.

Determineu la velocitat angular de la barra, $\omega_0$, just abans del xoc en funció de $g$ i $\ell$.

P1. Dinàmica i conservació en la rotació i col·lisió d'una barra

Una barra homogènia de longitud $\ell$ i massa $M$ té un dels seus extrems fixat en el punt articulat $O$, situat al centre d'una pista circular vertical de radi $\ell$, tal com es representa a la figura adjunta. En la posició inicial, la barra es troba en repòs orientada verticalment cap amunt. En deixar-la anar sense velocitat inicial, comença a girar cap a l'esquerra dins del pla vertical fins a topar amb una partícula de massa $m$ que està en repòs a la part més baixa de la pista. Com a conseqüència del xoc, la massa queda unida rígidament a l'extrem de la barra. Es considera negligible qualsevol tipus de fregament amb les superfícies de contacte.

c.

Analitzeu detalladament si durant el procés de col·lisió es conserven la quantitat de moviment, el moment angular i l'energia mecànica.

d.

Trobeu la velocitat angular del conjunt format per la barra i la partícula, $\omega'$, immediatament després del xoc en termes de $M$, $m$ i $\omega_0$.

e.

Calculeu la velocitat lineal de la massa $m$ fixada a l'extrem inferior i la del centre de masses de la barra just després de l'impacte, expressades en funció de $M$, $m$, $\ell$ i $\omega_0$.

f.

Indiqueu el caràcter elàstic o inelàstic del xoc. En cas de no ser elàstic, calculeu la fracció d'energia mecànica perduda durant l'impacte, $\Delta E / E_{\text{ini}} = (E' - E_{\text{ini}}) / E_{\text{ini}}$, particularitzant per al cas en què $M = 3m$.

g.

Determineu quin valor mínim ha de prendre la relació de masses $M/m$ perquè el sistema combinat sigui capaç d'arribar fins a la posició horitzontal indicada pel punt $Q$.