Examen de Fundamentos de Mecánica UB 2022 · Avaluació continuada: Prova 2 (Tema 2 - Dinàmica d'una partícula) 2022-23

P1 (0,8 punts). Dinàmica de dos blocs acoblats en un pla inclinat amb fregament

Considereu el muntatge representat a la figura, format per dos blocs de masses $m_1$ i $m_2$ recolzats sobre un pla inclinat, els coeficients de fricció cinètica dels quals amb la superfície són $\mu_1$ i $\mu_2$, respectivament. L'angle d'inclinació $\varphi$ respecte a l'horitzontal s'incrementa de manera progressiva des de 0.

a)

Dibuixeu el diagrama de forces que actuen sobre cadascun dels blocs, indicant de forma clara el cos sobre el qual s'aplica cadascuna d'elles.

b)

Deduïu quina condició s'ha de satisfer perquè els dos blocs llisquin de manera conjunta quan s'assoleixi un determinat angle $\varphi$.

c)

Suposant que es compleix aquesta condició, determineu l'angle crític $\varphi_C$ a partir del qual el conjunt baixa amb velocitat constant, expressat en funció de $m_1, m_2, \mu_1$ i $\mu_2$. Calculeu-ne el valor numèric per a $m_1 = 3\text{ kg}$, $m_2 = 4\text{ kg}$, $\mu_1 = 0,2$ i $\mu_2 = 0,1$.

d)

Si s'incrementa l'angle tal que $\varphi > \varphi_C$, trobeu l'expressió analítica de l'acceleració amb què llisquen els blocs en funció de $m_1, m_2, \mu_1, \mu_2$ i $\varphi$. Obtingueu el seu valor per a $\varphi = 30^\circ$.

e)

Calculeu la força de contacte existent entre els dos blocs en funció de $m_1, m_2, \mu_1, \mu_2$ i $\varphi$, així com el seu mòdul per a $\varphi = 30^\circ$.

Q1 (0,2 punts). Acceleració inicial en un sistema de dues masses i dues molles

Dues molles ideals de constant recuperadora $k$ tenen una longitud en repòs pràcticament nul·la quan no estan deformades. S'estiren cadascuna una longitud $\ell$ i es connecten en línia a dues masses iguals $m$ i a una paret rígida vertical, d'acord amb l'esquema:

Si s'alliberen les dues masses de manera simultània des del repòs, quines seran les magnituds de les seves acceleracions inicials per a la massa de l'esquerra i la de la dreta, respectivament?