Ejercicio P1 · Fundamentos de Mecánica UB 2022

a. Dibuixeu el diagrama de forces que actuen sobre cadascun dels blocs, indicant de forma clara el cos sobre el qual s'aplica cadascuna d'elles.

Solución: Les forces sobre cada cos són: - Bloc superior ($m_2$): pes $\vec{P}_2 = m_2\vec{g}$, reacció normal $\vec{N}_2$, força de fricció cinètica $\vec{F}_{f2}$ dirigida cap amunt del pla, i força de contacte $\vec{T}_{12}$ exercida pel bloc inferior dirigida cap amunt del pla. - Bloc inferior ($m_1$): pes $\vec{P}_1 = m_1\vec{g}$, reacció normal $\vec{N}_1$, força de fricció cinètica $\vec{F}_{f1}$ cap amunt del pla, i força de contacte (acció-reacció) $\vec{T}_{21}$ exercida pel bloc 2 cap avall del pla.

b. Deduïu quina condició s'ha de satisfer perquè els dos blocs llisquin de manera conjunta quan s'assoleixi un determinat angle $\varphi$.

Solución: $\mu_1 \ge \mu_2$

c. Suposant que es compleix aquesta condició, determineu l'angle crític $\varphi_C$ a partir del qual el conjunt baixa amb velocitat constant, expressat en funció de $m_1, m_2, \mu_1$ i $\mu_2$.

Solución: $\tan \varphi_C = \frac{\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2}{m_1 + m_2}$

Calculeu-ne el valor numèric per a $m_1 = 3\text{ kg}$, $m_2 = 4\text{ kg}$, $\mu_1 = 0,2$ i $\mu_2 = 0,1$.

Solución: $8{,}2^\circ$ / $0{,}142$ rad

d. Si s'incrementa l'angle tal que $\varphi > \varphi_C$, trobeu l'expressió analítica de l'acceleració amb què llisquen els blocs en funció de $m_1, m_2, \mu_1, \mu_2$ i $\varphi$.

Solución: $a = \frac{(m_1 + m_2)\sin\varphi - (\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2)\cos\varphi}{m_1 + m_2}g$

Obtingueu el seu valor per a $\varphi = 30^\circ$.

Solución: $3{,}7$ m/s²

e. Calculeu la força de contacte existent entre els dos blocs en funció de $m_1, m_2, \mu_1, \mu_2$ i $\varphi$.

Solución: $T = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}(\mu_1 - \mu_2)g\cos\varphi$

així com el seu mòdul per a $\varphi = 30^\circ$.

Solución: $1{,}46$ N