Examen de Estadística Aplicada URL 2017 · Segon Parcial (23 de gener de 2017)

Exercici 1. Probabilitat condicional i teorema de Bayes

Un fabricant distribueix determinats components electrònics en caixes que contenen 20 unitats cadascuna. Se sap que el 60% de les caixes no tenen cap component defectuós, el 30% en tenen exactament un, i el 10% restant en tenen dos.

a)

Es tria una caixa a l'atzar i se n'extreu un component. Quina és la probabilitat que funcioni correctament (és a dir, que no sigui defectuós)?

b)

Suposant que el primer component extret funcionava de manera correcta, quina és la probabilitat que, en treure un segon component de la mateixa caixa, aquest tampoc sigui defectuós?

c)

Si s'han extret dos components de la caixa i tots dos han resultat ser no defectuosos, quina és la probabilitat que a la caixa original no hi hagi cap component defectuós? Quines són les probabilitats que en contingui exactament un o exactament dos?

Considerem que el radi d'una circumferència és una variable aleatòria contínua $X$ que presenta la següent funció de densitat:$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{8}(3x + 1), & x \in [0, 2] \\ 0, & x \notin [0, 2] \end{cases}$$

a)

Verifiqueu que la funció de densitat $f(x)$ està normalitzada i calculeu l'esperança matemàtica del radi.

b)

Calculeu la densitat de probabilitat corresponent a l'àrea del cercle per a $y \in (0, 4\pi]$.

c)

Quant val el valor mitjà de l'àrea del cercle? Coincideix aquest resultat amb l'àrea d'un cercle el radi del qual sigui el radi mitjà? Justifiqueu la resposta.

Sí

No

Suposem que el temps que es triga a atendre un client en un determinat establiment segueix un model exponencial amb una mitjana de 3 minuts.

a)

Determineu la funció de densitat del temps dedicat a cada client i comproveu que està normalitzada. Trobeu la funció de distribució acumulada i calculeu la desviació estàndard.

b)

Mitjançant el teorema del límit central, calculeu una aproximació de la probabilitat que el temps global dedicat a atendre 16 clients superi una hora.