Examen de Bioestadística UAB 2023 · Primer examen parcial de (Curs 2023-2024)

A partir d'una mostra de 6 individus, s'han registrat les mides del peu i de la mà (expressades en mil·límetres):

Mida del peu (mm) · 235 · 240 · 220 · 185 · 260 · 240

Mida de la mà (mm) · 180 · 185 · 165 · 138 · 200 · 185

a. Trobeu la mitjana, la variància i la desviació típica per a cadascuna de les dues variables. Indiqueu de manera explícita les unitats de mesura.

Variable $X$ (Mida del peu)

•

•

•

Variable $Y$ (Mida de la mà)

•

•

•

A partir d'una mostra de 6 individus, s'han registrat les mides del peu i de la mà (expressades en mil·límetres):

Mida del peu (mm) · 235 · 240 · 220 · 185 · 260 · 240

Mida de la mà (mm) · 180 · 185 · 165 · 138 · 200 · 185

b)

Calculeu el valor de la covariància entre ambdues variables (especificant les seves unitats) i determineu el coeficient de correlació de Pearson. Té unitats aquest coeficient?

Sí

No

c)

Deduïu l'equació de la recta de regressió (prenent la mà com a variable dependent de la del peu). Justifiqueu si aquesta recta s'ajusta adequadament al núvol de punts sense necessitat de fer la representació gràfica.

d)

Quina mida de mà s'estima per a un individu amb una mida de peu de 230 mm? Raoneu si aquesta estimació és fiable.

Exercici 2 (2 punts). Substàncies nocives en productes agrícoles

Una empresa elabora productes agrícoles, entre els quals:

Un 65% presenta una concentració elevada de compostos nocius per a l'aigua.

Un 70% en conté una quantitat alta de nocius per al sòl.

Un 40% conté concentracions altes tant per a l'aigua com per al sòl.

Es demana calcular:

a.

%

b.

%

c.

%

Exercici 3 (2.5 punts). Eficàcia de tractament en animals: models binomial i hipergeomètric

S'administra un fàrmac experimental a un grup format per 10 animals malalts. L'eficàcia comprovada d'aquest tractament és del 82% (és a dir, cura cada individu tractat amb una probabilitat de 0.82 de manera independent).

a.

És més probable que no se'n curi cap animal o que es curin la totalitat dels 10?

b.

Si tenim la certesa que com a màxim s'han curat 9 animals, quina és la probabilitat que se n'hagin curat més de 7?

Suposem ara que, d'aquests 10 animals, se'n van curar 7. S'escull una mostra a l'atzar de 5 animals sense reemplaçament i es defineix la variable aleatòria $Y$ com el nombre d'animals sans (curats) presents en aquesta mostra.

a.

Identifiqueu quina distribució de probabilitat segueix la variable $Y$ i indiqueu clarament el valor dels seus paràmetres.

b.

Trobeu la probabilitat que, entre els 5 seleccionats, hi hagi exactament 3 animals curats.

Exercici 4 (2.5 punts). Concentració de magnesi en cacau: distribució normal

La quantitat de magnesi present en el cacau (en mg per cada 100 g de producte) es modelitza mitjançant una distribució normal $N(\mu, \sigma^2)$ amb mitjana $\mu = 420\text{ mg}$ i desviació típica $\sigma = 20\text{ mg}$. Suposant que en un àpat s'ingereixen exactament 100 g de cacau:

Taula de valors útils de la distribució normal estàndard

Funció de distribució

Valor

Quantil

Valor

pnorm(0.05)

0.5199

qnorm(0.01)

-2.3263

pnorm(0.075)

0.5299

qnorm(0.1)

-1.2816

pnorm(1)

0.8413

qnorm(0.9)

1.2816

pnorm(1.5)

0.9332

qnorm(0.95)

1.6449

a.

Quina probabilitat hi ha d'haver ingerit més de 400 mg de magnesi?

b.

Quina és la probabilitat que la ingesta de magnesi es trobi entre els 400 mg i els 450 mg?

c.

Trobeu la quantitat $k$ de magnesi tal que la probabilitat de superar aquest valor sigui de l'10%.