Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència

I 0 flashcards i 8 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS BIOESTADÍSTICA Grau en Biologia Universitat Autònoma de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts de Bioestadística per a Biologia (UAB): estadística descriptiva, models binomial i normal, intervals de confiança i contrast d'hipòtesis. APREN.AI Índex 1 Estadística descriptiva univariant — Tipus de variables i mesures característiques 1. Fonaments: Població, mostra i branques de l'estadística 2. Tipus de variables estadístiques i taules de freqüències 3. Mesures de tendència central i posició 4. Estadístics morfològics: Asimetria i curtosi 5.

Estadístics de dispersió o variabilitat 2 Estadística descriptiva bivariant — Relació entre dues variables Classificació segons el disseny mostral Relacions entre variables independents Anàlisi bivariant en dades aparellades (abans i després) 3 Probabilitat i variables aleatòries discretes — La distribució binomial Variables aleatòries discretes i caracterització poblacional El model de distribució binomial B(n, p) Ús de taules i estratègia per a p > 0,5 4 Variables aleatòries contínues — Distribució normal i Teorema del Límit Central Variables aleatòries contínues i funció de densitat La distribució normal o de Gauss Tipificació i càlcul de probabilitats mitjançant la normal estàndard Intervals de probabilitat central Teorema del Límit Central i distribució de la mitjana mostral Aproximació de la binomial a la normal: Teorema de De Moivre 5 Inferència per estimació — Intervals de confiança per a mitjanes, variàncies i proporcions Fonaments de l'estimació per intervals Interval de confiança per a la mitjana amb variància poblacional coneguda Distribució t de Student i estimació de la mitjana amb variància desconeguda Distribució Khi-quadrat i estimació de la variància poblacional Interval de confiança per a una proporció poblacional Càlcul de la dimensió mostral segons la precisió 6 Fonaments del contrast d'hipòtesis — Proves per a una sola mostra Estructura del contrast: hipòtesi nul·la i alternativa Decisions i riscos: el nivell de significació Regió crítica i presa de decisions Contrastos unilaterals i bilaterals Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 1 Contrast d'una mitjana poblacional amb variància coneguda Proves per a una mostra segons el tipus de variable 7 Comparació de dues mostres — Mitjanes independents i aparellades Objectiu de la comparació de dues mostres Comparació de dues mitjanes independents Dades aparellades: anàlisi sobre la variable diferència Taula resum dels contrastos de dues mitjanes 8 Anàlisi de dades categòriques — Tests de Khi-quadrat, Fisher i McNemar Contrast de dades qualitatives en mostres independents: taules de contingència Criteris d'aplicabilitat de Cochran i el Test Exacte de Fisher Dades aparellades: Test de McNemar 9 Formulari Estadística descriptiva univariant i bivariant Models de probabilitat: Binomial i Normal Estimació per intervals de confiança i mida mostral Contrast d'hipòtesis per a mitjanes Contrast de dades categòriques Constants i errors típics d'examen Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 2 1 Estadística descriptiva univariant — Tipus de variables i mesures característiques EN ACABAR SABRÀS Distingir clarament entre mostra (estadístic) i població (paràmetre). Classificar qualsevol variable biològica o clínica segons la seva escala de mesura. Calcular i interpretar les mesures de tendència central, morfologia i dispersió. Avaluar quan convé utilitzar la mediana i l'IQR en comptes de la mitjana i la desviació típica.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Si en un estudi clínic el sou de 10 metges té un valor típic de 3.000 € però el director en cobra 50.000 €, quina mesura resumirà millor el sou central del grup? La bioestadística proporciona les eines per recopilar, organitzar, sintetitzar i interpretar dades biològiques o clíniques, permetent extreure conclusions sòlides sobre fenòmens naturals o poblacions senceres. ESQUEMA Estructura de la Bioestadística 1. Fonaments: Població, mostra i branques de l'estadística La població constitueix la totalitat d'individus o elements sobre els quals es vol investigar una propietat determinada.

Com que analitzar cada subjecte és sovint impossible per motius temporals o econòmics, s'extreu un subconjunt anomenat mostra mitjançant un procés de mostratge, seleccionant Bioestadística Anàlisi de dades biològiques Estadística Descriptiva Resum de la mostra Tipus de Variables Qualitatives i quantitatives Mesures Característiques Centre, forma i dispersió Estadística Inferencial Generalització a la població Estimació de Paràmetres Intervals de confiança Contrast d'Hipòtesis Decisions sobre paràmetres Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 3 exclusivament els elements d'interès.

A partir d'aquesta divisió, la disciplina s'estructura en dos grans blocs metodològics: Estadística descriptiva: caracteritza i sintetitza la informació continguda directament a la mostra mitjançant resums numèrics denominats estadístics (notats habitualment amb lletres llatines, com o ). Estadística inferencial: dedueix i generalitza propietats cap a la població global a partir de la mostra. Les propietats poblacionals vertaderes s'anomenen paràmetres (expressats típicament amb lletres gregues, com o ). COMPROVA-HO 2 Quina és la diferència clau entre un estadístic i un paràmetre? 2.

Tipus de variables estadístiques i taules de freqüències Una variable és qualsevol característica observable o mesurable en els subjectes d'estudi. Segons la seva naturalesa i l'escala de mesura, es divideixen en dues grans categories: Tipus de variable Subtipus Definició Exemples biològics / clínics Qualitatives (categòriques, no mesurables numèricament de forma directa) Nominals Opcions discretes i limitades sense cap ordre natural previ; poden codificar-se amb dígits arbitraris. Sexe (home/dona), grup sanguini (0, A, B, AB), estat civil. Ordinals Categories qualitatives que presenten una progressió o jerarquia natural ordenada; sovint s'associen a una escala graduada.

Grau de dolor (cap, poc, moderat, intens; o de 1 a 4), nivell de preocupació. Quantitatives (numèriques i mesurables) Discretes Prenen valors aïllats dins d'un conjunt numerable, habitualment resultat de recomptes enters. Nombre de fills, nombre de pacients atesos. Contínues Poden prendre infinits valors reals dins d'un interval de mesura determinat. Pes, edat, pressió arterial. Per analitzar variables qualitatives o quantitatives discretes, les dades s'agrupen en taules de freqüències a partir de tres conceptes fonamentals: Freqüència absoluta ( ): nombre de vegades que es repeteix un valor o categoria específica dins de la mostra observada.

Freqüència relativa ( ): proporció respecte al total de subjectes ( ), definida com: Percentatge: la freqüència relativa expressada en base 100, calculada com . x ˉ S μ σ f i f r N f = r N f i f × r 100 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 4 En el cas de variables quantitatives contínues, les taules de freqüències també s'empren si les observacions s'estructuren en intervals o classes (com ara grups d'edat). COMPROVA-HO 3 En quina categoria classificaries l'estadiatge d'un tumor (estadi I, II, III, IV)? Justifica-ho. 3.

Mesures de tendència central i posició Aquests índexs resumeixen la localització central de les observacions i descriuen el punt al voltant del qual s'agrupen les dades: Mitjana aritmètica ( ): suma de tots els valors observats dividida pel nombre total de registres ( ). Representa el valor mig d'una variable numèrica. Mediana ( o ): valor que ocupa la posició central quan totes les observacions s'ordenen de menor a major. Deixa exactament el 50% de les dades per sota i el 50% per sobre. És una mesura resistent davant de valors anòmals o extrems. Percentils: valors que divideixen la mostra ordenada en 100 parts equivalents.

El percentil 25 correspon al 1r quartil ( ), el percentil 50 coincideix amb el 2n quartil o mediana ( ), i el percentil 75 correspon al 3r quartil ( ). Moda: categoria o valor que es manifesta amb la freqüència absoluta més alta de la distribució; gràficament equival al pic més alt de la corba de freqüència. Gràfica de la relació entre mitjana, mediana i moda segons la simetria. 4. Estadístics morfològics: Asimetria i curtosi La forma de la distribució univariant es descriu mitjançant paràmetres morfològics que caracteritzen el biaix i l'apuntament: El biaix o asimetria avalua el grau d'equilibri a banda i banda del valor central o moda.

S'avalua mitjançant el coeficient d'asimetria de Fisher ( ): x ˉ n x ~ Me Q 1 Q 2 Q 3 g 1 g = 1 nS x 3 (x ) i=1 n i x ˉ 3 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 5 : distribució estrictament simètrica, on coincideixen la mitjana, la mediana i la moda. : asimetria positiva o sesgada a la dreta (la cua s'allarga cap als valors alts, fent que la mitjana superi la mediana). : asimetria negativa o sesgada a l'esquerra (la cua s'estén cap als valors baixos). Esquema de distribucions amb sesgo a la dreta i a l'esquerra.

Així mateix, l'apuntament o concentració central es pot mesurar a partir de la desviació normalitzada del pic o mitjançant el coeficient de curtosi ( ): Mesocúrtica ( ): apuntament estàndard, semblant a la distribució normal de referència. Leptocúrtica ( ): corba molt punxeguda amb alta concentració de dades al centre. Platicúrtica ( ): corba aplanada amb una dispersió central menor. Gràfica de diferents nivells d'apuntament i curtosi en corbes unimodals. COMPROVA-HO 4 Si un conjunt de dades té una distribució fortament asimètrica a la dreta, quina relació d'ordre s'espera trobar entre mitjana, mediana i moda? 5.

Estadístics de dispersió o variabilitat Les mesures de dispersió descriuen la variabilitat dels valors respecte a la tendència central: Rang: diferència simple entre el valor màxim i el valor mínim de la mostra, expressat en les mateixes unitats de mesura. g = 1 0 g > 1 0 g < 1 0 g 2 g = 2 nS x 4 (x ) i=1 n i x ˉ 4 g = 2 3 g > 2 3 g < 2 3 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 6 Rang interquartílic (IQR): distància entre el tercer i el primer quartil: Presenta una gran resistència davant la presència de valors atípics o extrems.

Variància mostral ( ): promig de les desviacions quadràtiques de cada observació respecte a la mitjana aritmètica: Desviació típica o estàndard ( ): arrel quadrada de la variància ( ). Representa la distància o allunyament típic de les observacions respecte al centre, en les unitats originals de la variable. Com més alta és , més gran és la dispersió. Coeficient de variació (CV): estadístic adimensional que avalua la variabilitat relativa dividint la desviació típica per la mitjana: Permet comparar la dispersió entre distribucions que utilitzen unitats de mesura diferents o amb magnituds molt dispars.

ERROR FREQÜENT No utilitzis la desviació típica ( ) per comparar directament la dispersió entre dues variables que tenen unitats diferents (com el pes en kg i l'edat en anys) o nivells de mitjana molt allunyats. Com que manté les unitats originals, la comparació directa manca de sentit; en aquests casos cal fer servir sempre el coeficient de variació (CV), que és adimensional. IDEES CLAU Un estadístic sintetitza la informació d'una mostra (notació llatina), mentre que un paràmetre descriu la població sencera (notació grega). Les variables qualitatives són atributs categòrics (nominals o ordinals), mentre que les quantitatives són numèriques (discretes per recompte o contínues per mesura).

La mediana i el rang interquartílic ( ) són robustos enfront de valors extrems, a diferència de la mitjana i el rang. El biaix ( ) mesura la simetria de la distribució, i la curtosi ( ) caracteritza el grau d'apuntament respecte a una distribució de referència. El coeficient de variació ( ) permet comparar la dispersió relativa entre mostres amb magnituds o unitats diferents. IQR = Q 3 Q 1 S2 S = 2 n 1 (x ) i=1 n i x ˉ 2 S S = S2 S CV = × x ˉ S 100 S S IQR = Q 3 Q 1 g 1 g 2 CV = (S/ ) × x ˉ 100 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 7 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 5.

Quina mesura de tendència central és preferible emprar si les dades presenten observacions extremadament altes o anòmales? 6. Com es defineix i quina utilitat té el rang interquartílic? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 7. Quin tipus de variable és el grup sanguini (0, A, B, AB)? 8. En una distribució asimètrica a la dreta (biaix positiu), quina afirmació és correcta? 9. Com s'anomena una distribució amb curtosi g2 superior a 3? 10. Quin estadístic permet comparar la dispersió de dues mostres amb unitats de mesura diferents?

2 Estadística descriptiva bivariant — Relació entre dues variables EN ACABAR SABRÀS Distingir entre l'anàlisi per a mostres independents i l'avaluació en dissenys aparellats. Calcular i interpretar percentatges totals, per fila i per columna en taules de contingència. Interpretar la magnitud i sentit del coeficient de correlació lineal de Pearson. Definir i analitzar la variable diferència en estudis quantitatius abans-després.

Quantitativa contínua a) Qualitativa nominal b) Quantitativa discreta c) Qualitativa ordinal d) La mitjana supera la mediana a) La mitjana és menor que la moda b) El coeficient g1 és negatiu c) Totes les mesures centrals coincideixen d) Mesocúrtica a) Bimodal b) Leptocúrtica c) Platicúrtica d) Rang interquartílic a) Desviació típica b) Coeficient de variació c) Variància mostral d) Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 8 PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 11 Per què no es poden analitzar de la mateixa manera dos grups de pacients diferents que el mateix grup avaluat abans i després d'un tractament?

L'estadística descriptiva bivariant investiga com interactuen dues característiques mesurades sobre una mateixa població o mostra per comprovar si una influeix sobre l'altra (les definicions bàsiques de les variables es troben a Estadística descriptiva univariant — Tipus de variables i mesures característiques). L'estratègia analítica i les eines de representació depenen directament tant de la naturalesa de les dades com de l'estructura del disseny d'obtenció de les mostres.

Classificació segons el disseny mostral Abans d'escollir l'estadístic o la representació gràfica adient, cal distingir entre dos esquemes fonamentals de recollida de dades: Mostres independents: les observacions d'un grup no guarden cap relació directa amb les de l'altre grup; es comparen subjectes o entitats completament diferenciats. Mostres aparellades: es mesura el mateix individu en dos moments temporals o sota dues condicions diferents, habitualment abans i després d'intervenir amb un tractament o fàrmac.

ESQUEMA Estratègies de l'anàlisi bivariant Relacions entre variables independents Segons la naturalesa quantitativa o qualitativa de les variables mesurades de forma independent, s'apliquen tres procediments descriptius ben delimitats.

Mostres independents Subjectes diferents en cada grup Qualitativa - Qualitativa Taules de contingència i percentatges Quantitativa - Qualitativa Mitjanes, desviacions i solapament Quantitativa - Quantitativa Gràfic cartesià i correlació de Pearson Mostres aparellades Mesures repetides sobre el mateix individu Canvi qualitatiu Focus en canvis i diagonals Variable diferència Resta contínua tractada individualment Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 9 1.

Variable qualitativa amb variable qualitativa Quan totes dues variables són categòriques (com ara comparar la presència d'una patologia segons el sexe), la informació s'ordena mitjançant una taula de contingència o matriu creuada de dimensions files per columnes. Dins d'aquesta taula es detallen les freqüències absolutes i tres tipus essencials de proporcions: Percentatges sobre el total: proporció de casos que compleixen simultàniament les dues categories respecte a tota la mostra analitzada. Percentatges per fila: proporció calculada respecte al sumatori de la categoria de la fila corresponent.

Percentatges per columna: proporció calculada prenent com a base el total d'observacions de la columna concreta. 2. Variable quantitativa amb variable qualitativa En aquesta combinació, es fixa la variable qualitativa com a factor de classificació i s'analitzen els paràmetres de centralització i dispersió de la variable numèrica dins de cada subgrup. Concretament, es calcula la mitjana aritmètica i la desviació típica (vegeu Estadística descriptiva univariant — Tipus de variables i mesures característiques) per a cadascuna de les categories.

La comparació visual de les distribucions permet examinar el solapament de corbes: Un elevat solapament entre corbes per una forta dispersió suggereix absència de diferències rellevants (independència). Un menor solapament (corbes clarament separades) indica associació o dependència entre el factor qualitatiu i la mesura quantitativa. 3. Variable quantitativa amb variable quantitativa Quan ambdues característiques són mètriques, el primer pas consisteix a dibuixar un gràfic cartesià de dispersió (núvol de punts en els eixos cartesians i ) a partir dels parells de valors observats. Aquesta disposició permet copsar visuals de tendència.

Per quantificar matemàticament aquesta associació, s'utilitza el coeficient de correlació lineal de Pearson. Aquest índex descriu la força i el sentit del patró rectilini entre ambdues variables: X Y Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 10 Gràfica de dispersió i escala d'interpretació del coeficient de correlació de Pearson.

El coeficient pren valors continguts estrictament en l'interval tancat de -1 a 1, seguint la següent gradació clínica i experimental: Rang del coeficient (valor absolut) Interpretació de la correlació Comportament associat (o -1) Correlació perfecta Punts alineats sobre una recta funcional exacta Bona correlació / Forta a moderada Núvol clarament compactat entorn d'una recta Mala o dèbil correlació Punts dispersos amb orientació lineal difusa Correlació nul·la Absència total de patró rectilini entre variables COMPROVA-HO 12 Com s'interpreta que dues corbes de distribució d'una variable numèrica per a dos grups es trobin gairebé superposades?

Anàlisi bivariant en dades aparellades (abans i després) Quan s'efectuen mesures repetides sobre el mateix subjecte (abans i després d'una acció terapèutica o condició), l'atenció se centra exclusivament en l'evolució o canvi intern que experimenta cada individu. r = 1 0,6 a 0,9 0,1 a 0,5 r = 0 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 11 Canvi en variables qualitatives aparellades En variables categòriques aparellades (per exemple, resposta terapèutica codificada en sí/no abans i després), l'interès analític rau en els casos en què la resposta ha variat (de sí a no, o de no a sí).

A la taula de dades creuades, s'analitzen les cel·les que reflecteixen aquesta modificació respecte al volum global de casos, comparant els valors situats en la diagonal de la taula que indiquen concordança o canvi. Canvi en variables quantitatives: la variable diferència En el seguiment continu, l'anàlisi es resol condensant els dos registres en una nova mesura: la variable diferència, que resta el registre final del valor inicial (o a l'inrevés). Aquesta nova magnitud es processa de forma autònoma com una variable quantitativa contínua clàssica.

Per jutjar l'efectivitat del tractament cal analitzar la mitjana del canvi i la seva desviació típica: Si la desviació típica és molt gran i la diferència entre mitjanes és molt petita, la variabilitat interna difumina l'efecte i l'eficàcia resulta dolenta o inapreciable. Si la diferència és consistent i la dispersió reduïda, el patró de canvi és sòlid. ERROR FREQÜENT Confondre el sentit algebraic de la resta en dades aparellades. No és equivalent calcular Final - Inicial que Inicial - Final: encara que la magnitud absoluta sigui idèntica, el signe canvia per complet la interpretació de l'augment o disminució clínica del paràmetre. Fixa sempre el criteri de resta abans d'interpretar el canvi.

COMPROVA-HO 13 Quina conclusió clínica s'obté d'un tractament si la diferència mitjana és minsa però la desviació típica d'aquesta diferència resulta molt elevada? IDEES CLAU L'anàlisi bivariant es condiciona segons si el disseny és de mostres independents o aparellades (abans i després). Entre variables qualitatives independents s'utilitzen taules de contingència, desglossades en percentatges totals, per files i per columnes. Quan s'encreuen dades quantitatives i qualitatives, el grau de solapament entre corbes permet valorar si hi ha dependència. El coeficient de Pearson quantifica exclusivament relacions lineals en el rang de -1 a 1, sent 0 l'absència d'associació rectilínia.

En dades quantitatives aparellades es construeix una variable diferència que s'analitza com una magnitud contínua independent. Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 12 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 14. Quina eina descriptiva s'utilitza per relacionar dues variables qualitatives en mostres independents i com s'expressen les seves dades? 15. Com s'obté i s'interpreta la variable diferència en estudis bivariants amb mesures quantitatives aparellades? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 16. Quin valor pren el coeficient de correlació de Pearson en presència d'una relació lineal nul·la? 17.

Quin càlcul percentual en una taula de contingència divideix per la suma dels subjectes d'aquella línia horitzontal? 18. Com es descriu l'associació entre una variable contínua i una categòrica si les seves corbes de dispersió se superposen notablement? 19. Com s'analitza l'efectivitat d'una intervenció sobre una variable qualitativa binària en dades aparellades abans-després?

3 Probabilitat i variables aleatòries discretes — La distribució binomial EN ACABAR SABRÀS Distingir la funció de densitat f(x) de la funció de distribució acumulada F(x) en variables discretes Calcular l'esperança matemàtica i la variància d'una variable binomial B(n, p) Utilitzar les taules de la distribució binomial aplicant la propietat simètrica quan p > 0,5 0,5 a) 1 b) 0 c) -1 d) Percentatge sobre el total a) Diferència marginal b) Percentatge per fila c) Percentatge per columna d) Independència entre variables a) Correlació perfecta positiva b) Forta dependència c) Correlació lineal inversa d) Calculant el coeficient de Pearson a) Sumant les mitjanes dels grups b) Focalitzant l'atenció en els canvis c) Invertint l'ordre de les columnes d) Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 13 PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 20 Si una taula estadística de probabilitats només arriba fins a p = 0,5, com podem conèixer la probabilitat d'un succés amb un 80 % d'èxit?

En l'estudi de fenòmens biomèdics no podem limitar-nos a descriure una mostra observada; cal inferir conclusions sobre tota la població assumint un marge d'incertesa controlat mitjançant el càlcul de probabilitats. ESQUEMA Estructura de la inferència i distribucions de probabilitat Variables aleatòries discretes i caracterització poblacional Quan treballem amb mostres fem servir estadístics per resumir la informació directa dels individus analitzats (vegeu «Estadística descriptiva univariant — Tipus de variables i mesures característiques»). En canvi, els paràmetres defineixen les característiques numèriques de tota la població i se solen representar amb lletres gregues.

Per connectar ambdues realitats s'introdueix el concepte de variable aleatòria. DEFINICIÓ Una variable aleatòria discreta és una funció que assigna valors numèrics determinats per l'atzar dins d'un espai mostral discret (el conjunt de tots els resultats possibles que pot prendre la variable, com ara el nombre de fills o un recompte de casos). Els valors concrets observats s'escriuen amb lletra minúscula ( ). La probabilitat d'un succés quantifica el grau d'expectació amb què esperem que es produeixi, prenent valors compresos entre 0 i 1: Si , el succés és altament probable. Si , és gairebé segur que el succés no passarà.

Inferència estadística Extreure conclusions poblacionals des de mostres Variables discretes Valors numèrics aïllats en l'espai mostral Distribució binomial Model B(n, p) per a recompte d'èxits Variables contínues Infinits valors en intervals reals continuats Distribució normal Campana de Gauss i Teorema del Límit Central X Ω x P 1 P 0 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 14 Si , l'ocurrència i la no-ocurrència són equiprobables (com en llançar una moneda no trucada).

Una població queda completament caracteritzada quan coneixem la seva funció de densitat de probabilitat (també anomenada funció de massa o funció de probabilitat discreta), la qual assigna a cada valor puntual la seva probabilitat exacta: La suma de totes les probabilitats de l'espai mostral compleix necessàriament que , mentre que per a qualsevol valor que no pugui ocórrer la probabilitat és nul·la ( ). Gràficament, l'alçada de cada barra representa la probabilitat exacta d'aquell valor puntual . Gràfica de la funció de densitat discreta per al nombre de fills.

D'altra banda, la funció de distribució acumulada acumula les probabilitats des del valor mínim fins al punt considerat: COMPROVA-HO 21 Quina relació hi ha entre la funció de densitat f(x) i la funció acumulada F(x) quan volem conèixer P(1 X 2)? El model de distribució binomial B(n, p) La distribució binomial permet modelitzar el comportament de variables discretes resultants de comptar el nombre d'èxits en un procés experimental específic.

P = 0,5 f(x) f(x) = P (X = x) f(x) = 1 f(x) = 0 x F (x) F (x) = P (X x) = f(k) k x Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 15 DEFINICIÓ Diem que una variable segueix una distribució binomial B(n, p) quan el fenomen compleix tres condicions essencials: 1. El procés consta d'un nombre fix d'assajos independents ( ). 2. A cada assaig només hi ha dos resultats possibles i mútuament excloents: èxit o fracàs. 3. La probabilitat d'èxit ( ) es manté estrictament constant a cada prova, i la de fracàs és .

La funció de densitat analítica d'una distribució binomial per obtenir exactament èxits ve donada per la fórmula: Els paràmetres poblacionals clau d'aquest model són els següents: Esperança matemàtica (mitjana poblacional o valor esperat): E(X) = n p Variància poblacional: Desviació típica poblacional: EXEMPLE Si es llencen 16 vegades uns daus i volem comptabilitzar quantes vegades s'obté la cara 5, tenim i . Esperança de cares 5: . Variància: . COMPROVA-HO 22 Si el 85 % dels estudiants aprova bioestadística en un grup de 15 alumnes, quin és el nombre esperat d'aprovats i la seva dispersió?

Ús de taules i estratègia per a p > 0,5 Atès que els càlculs manuals amb combinatòries poden resultar tediosos, la probabilitat depèn exclusivament de , i , de manera que habitualment s'obtenen els valors tabulats. Les taules estàndard solen contenir valors fins a . Tipus de pregunta Notació teòrica Càlcul mitjançant densitats o acumulades Exactament Lectura directa a la taula: Com a màxim (fins a ) n p q = 1 p x P (X = x) = p (1 ( x n ) x p) = n x p q x!(n x)! n!

x n x Var(X) = n p q = n p (1 p) σ = n p q n = 16 p = 1/6 E(X) = 16 = (6 1 ) 2,67 Var(X) = 16 (6 1 ) = (6 5 ) 2,22 n p x p = 0,50 x P (X = x) f(x) x x P (X x) F (x) = f(0) + f(1) + + f(x) Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 16 Tipus de pregunta Notació teòrica Càlcul mitjançant densitats o acumulades Més de Almenys (com a mínim ) Quan la probabilitat d'èxit de l'enunciat és superior a 0,5 ( ), la taula no la recull directament. En aquests casos s'utilitza la propietat de simetria i complementarietat: Això equival a canviar el punt de vista de l'experiment: comptar èxits amb probabilitat és idèntic a comptar fracassos amb probabilitat .

EXEMPLE Una enquesta indica que el 20 % de la població és favorable a un cert partit i el 80 % restant hi està en contra ( ). Si triem individus a l'atzar, quina és la probabilitat que tots 6 ( ) siguin desfavorables? ERROR FREQÜENT Confondre «almenys » ( ) amb «exactament » ( ) o oblidar restar el complementari. Si ens demanen que un tractament millori «almenys 3 pacients» de 10 amb eficàcia del 70 % ( ), no busquem : cal calcular . Convertint a la complementària ( ), equival a . COMPROVA-HO 23 Si sabem que el 10 % dels medicaments d'una llar estan caducats i en prenem 15, com es calcula la probabilitat de trobar més de 5 medicaments caducats sabent que F(5) = 0,9978?

x P (X > x) 1 P (X x) = 1 F (x) x x P (X x) 1 P (X x 1) = 1 F (x 1) p > 0,5 P (X = x n, p) = B(n x : n, 1 p) x p n x q = 1 p p = des 0,8 n = 6 x = 6 Identifiquem els paràmetres originals: , , . 1 n = 6 x = 6 p = 0,8 Com que , apliquem la complementària: . 2 p > 0,5 B(n x : n, 1 p) = B(6 6 : 6, 1 0,8) = B(0 : 6, 0,2) Busquem a la taula per a , i : el resultat és 0,2621.

3 n = 6 x = 0 p = 0,20 x P (X x) x P (X = x) p = 0,70 f(3) P (X 3) = 1 [f(0) + f(1) + f(2)] p = 0,30 1 [f(10) + f(9) + f(8)] = 1 (0,00001 + 0,00014 + 0,00145) = 0,99841 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 17 IDEES CLAU Les poblacions es descriuen mitjançant paràmetres teòrics (lletres gregues), mentre que les mostres es descriuen mitjançant estadístics. La funció de densitat discreta assigna probabilitats puntuals i la seva suma és exactament 1. La funció de distribució acumulada suma les probabilitats des de l'inici fins al valor donat. La binomial exigeix assajos independents amb dos resultats possibles i probabilitat d'èxit constant.

Els paràmetres fonamentals de la binomial són i . Si , la taula s'utilitza canviant a la distribució simètrica de fracassos . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 24. Per què cal transformar la cerca a les taules de la binomial si la probabilitat d'èxit és p = 0,70? 25. Quina diferència conceptual hi ha entre l'esperança matemàtica i una mitjana mostral? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 26. Quina condició és indispensable perquè una variable segueixi el model binomial B(n, p)? 27. Com es calcula la variància d'una distribució binomial B(n, p)? 28. Com es busca a la taula B(n, p) la probabilitat de x èxits quan p > 0,5? 29.

Si es llança una moneda 3 vegades, quant val P(X = 2 cares)?

f(x) = P (X = x) F (x) = P (X x) B(n, p) p E(X) = n p Var(X) = n p (1 p) p > 0,5 B(n x : n, 1 p) Variables contínues mesurades en intervals a) Assajos independents amb probabilitat constant b) Més de tres resultats per assaig c) Probabilitat d'èxit canviant a cada prova d) Var(X) = p / n a) Var(X) = n · p b) Var(X) = n · p · (1 - p) c) Var(X) = (n · p) d) B(x : n, 1 - p) a) B(x : n, p - 0,5) b) 1 - B(x : n, p) c) B(n - x : n, 1 - p) d) 4/8 a) 2/8 b) 3/8 c) 1/8 d) Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 18 4 Variables aleatòries contínues — Distribució normal i Teorema del Límit Central EN ACABAR SABRÀS Distingir les característiques d'una variable contínua respecte a una de discreta.

Tipificar variables normals i emprar la distribució Z per trobar probabilitats i quantils del 95%. Calcular la distribució de probabilitat de la mitjana mostral mitjançant el Teorema del Límit Central. Avaluar els criteris de De Moivre per aproximar una distribució binomial mitjançant la normal. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 30 Si una persona mesura exactament 175 cm, per què en termes teòrics continus la probabilitat associada a aquesta alçada puntual és zero?

Variables aleatòries contínues i funció de densitat A diferència de les variables discretes (vegeu «Probabilitat i variables aleatòries discretes — La distribució binomial»), una variable aleatòria contínua pot prendre infinits valors dins de qualsevol interval. En aquest context teòric, l'assignació de probabilitats canvia de concepte: la probabilitat que la variable prengui un valor aïllat i exacte és nul·la, és a dir, . Per aquest motiu, no té sentit parlar de probabilitat puntual a partir de l'alçada d'una barra, sinó d'àrees compreses sota una corba contínua. La distribució ve definida per la seva funció de densitat de probabilitat, indicada com a .

La probabilitat d'un interval es calcula mitjançant la integral d'aquesta funció entre els dos límits corresponents: Com que tota la certesa queda recollida sota la distribució, l'àrea total sota la corba és exactament 1: Atès que la probabilitat puntual és zero, les desigualtats estrictes o no estrictes representen exactament la mateixa quantitat matemàtica: .

Característica Variable discreta Variable contínua Valors possibles Numerables o aïllats Infinits en qualsevol interval Significat gràfic Alçada de la barra = probabilitat Àrea sota la corba = probabilitat P (X = a) = 0 f(x) P (X a) = f(x) dx a f(x) dx = + 1 P (X < a) = P (X a) Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 19 Característica Variable discreta Variable contínua Probabilitat puntual Funció acumulada Suma acumulada de casos puntuals Integral des de fins al punt determinat COMPROVA-HO 31 Per què en una distribució normal és equivalent calcular P(X < 10) que P(X 10)?

La distribució normal o de Gauss La distribució normal o campana de Gauss és el model continu fonamental en bioestadística. Es denota de forma estàndard mitjançant els seus dos paràmetres poblacionals: , on representa la mitjana poblacional i la desviació típica (vegeu «Estadística descriptiva univariant — Tipus de variables i mesures característiques»). La seva expressió analítica ve donada per la següent expressió: Aquesta distribució presenta unes propietats geomètriques molt particulars: És perfectament simètrica respecte a la mitjana central . En aquest eix central coincideixen de manera exacta la mitjana, la mediana i la moda.

El punt més elevat de la campana correspon precisament a la moda ( ), on la densitat assoleix el seu valor màxim: . Els punts d'inflexió de la curvatura es troben exactament a una distància de la desviació típica respecte al centre: . El paràmetre determina la posició sobre l'eix d'abscisses: si canvia la mitjana mantenint la mateixa dispersió, la campana simplement es desplaça horitzontalment cap a l'esquerra o cap a la dreta. En canvi, el paràmetre en modula la forma: com més gran és la dispersió, més ampla i aplanada esdevé la corba; per contra, una desviació menor genera una corba més estreta i apuntada al voltant del valor mitjà.

COMPROVA-HO 32 On se situen els dos punts on la campana de Gauss canvia la seva concavitat? Tipificació i càlcul de probabilitats mitjançant la normal estàndard Com que cada parell de valors de i defineix una corba distinta, no és pràctic disposar de taules numèriques per a totes les combinacions.

La solució consisteix a transformar la variable original mitjançant la tipificació, obtenint una variable normal estàndard amb mitjana igual a 0 i desviació típica igual a 1: P (X = a) P (X = a) = f(a) 0 P (X = a) = 0 X N(μ, σ) μ σ f(x) = e σ 2π 1 2σ2 (x μ)2 μ x = μ f(μ) = σ 2π 1 μ ± σ μ σ μ σ Z N(0, 1) Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 20 Gràcies a aquesta transformació lineal, l'àrea sota la corba es manté invariable i és possible emprar la taula de probabilitats precalculades de . Aquestes taules solen organitzar la informació en quatre àrees d'interès: Columna A: Probabilitat acumulada cap a l'esquerra, . Columna B: Cua superior o probabilitat cap a la dreta, .

Columna C: Àrea central entre el centre de la distribució i el valor considerat, . Columna D: Regió bilateral simètrica al voltant de l'origen, . Quan es tracta de valors negatius, s'aprofita la simetria de la distribució. L'àrea per sobre d'un valor negatiu coincideix amb l'àrea situada per sota del mateix valor en positiu: . EXEMPLE Suposem una variable . Per determinar , calculem primer el valor tipificat: . A la taula de la normal estàndard comprovem que l'àrea acumulada fins a aquest valor (columna A) és de 0,9772. Per tant, . En canvi, si busquem , el valor tipificat és i la cua superior (columna B) val 0,1587.

Intervals de probabilitat central Un interval de probabilitat delimita la regió on s'espera trobar la variable d'un individu escollit a l'atzar amb una probabilitat prefixada (habitualment el 95%). A causa de la simetria de la corba, el valor residual es reparteix per parts iguals a ambdues cues, deixant a cadascuna: Per a un nivell de certesa del 95% ( amb un nivell de significació ), les cues deixen una àrea lateral de 0,025 cadascuna. El valor crític que delimita aquesta regió a la taula és Z = 1,96. En conseqüència, l'interval central per a la variable s'expressa de la forma: Substituint el valor de 1,96 s'obté la franja .

Per exemple, si els nivells de colesterol en sans segueixen una , el 95% central dels individus es troba entre i . Z = σ X μ Z P (Z z) P (Z > z) P (0 Z z) P ( z Z z) P (Z > z) = P (Z < z) Identificació del valor llindar: Determinar el valor d'interès de la variable original , conjuntament amb els paràmetres poblacionals coneguts i . 1 x X μ σ Conversió a valor tipificat: Aplicar l'operació per obtenir la coordenada sobre la distribució estàndard . 2 z = σ x μ N(0, 1) Consulta a les taules estadístiques: Localitzar a la columna de la taula l'àrea requerida segons la regió d'estudi (cua inferior, superior o bilateral).

3 X N(100, 10) P (X < 120) z = = 10 120 100 2 P (X < 120) = 0,9772 P (X > 110) z = 1 1 α α α/2 1 α = 0,95 α = 0,05 ± X P (μ z α/2 σ < X < μ + z α/2 σ) = 1 α μ ± 1,96 σ N(200, 25) 200 1,96(25) = 151 200 + 1,96(25) = 249 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 21 ERROR FREQÜENT Confondre l'interval de probabilitat d'un individu amb l'interval per a la mitjana mostral. Quan es descriu la variabilitat individual d'una població s'utilitza la dispersió directa ( ). Per contra, si es pretén acotar la mitjana calculada a partir d'un conjunt de dades ( ), cal dividir necessàriament per . Utilitzar en lloc de sobreestreny o sobredimensiona greument l'amplitud dels límits en els exàmens.

COMPROVA-HO 33 Quina quantitat s'ha de sumar i restar a la mitjana poblacional d'una distribució normal per delimitar exactament el 95% dels individus? Teorema del Límit Central i distribució de la mitjana mostral En la investigació biomèdica no se sol treballar amb individus aïllats sinó amb conjunts de subjectes. El Teorema del Límit Central estableix que si s'extreuen mostres aleatòries de mida d'una població amb mitjana i desviació , la distribució de la mitjana mostral s'aproxima a un model normal a mesura que la mida mostral creix: La desviació de les mitjanes mostrals s'anomena error estàndard de la mitjana i equival a . Aquest teorema té dues conseqüències transcendentals: 1.

Si la variable originària ja segueix una distribució normal, la mitjana mostral és estrictament normal per a qualsevol grandària mostral . 2. Si la variable prové d'una distribució desconeguda o no normal, la distribució de tendeix igualment a ser normal sempre que la mida de la mostra sigui prou gran, considerant-se habitualment .

La tipificació d'una mitjana mostral adopta per tant la següent forma: L'interval de probabilitat del 95% per a la mitjana mostral queda definit per: σ μ ± z α/2 σ X ˉ n σ σ/ n n μ σ X ˉ X ˉ N μ, ( n σ ) n σ X X ˉ n X X ˉ n 25 o 30 Z = n σ μ X ˉ P μ 1,96 < < μ + 1,96 = ( n σ X ˉ n σ ) 0,95 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 22 PROCÉS Passos per al càlcul de probabilitats d'una mitjana mostral 1 Verificar condicions Població normal o n gran (n 25 o 30) 2 Calcular l'error estàndard Dividir sigma per l'arrel quadrada de la mostra 3 Tipificar el valor mostral Aplicar Z = (X̄ - μ) / (σ / n) 4 Consultar taula normal Determinar l'àrea associada a la coordenada Z COMPROVA-HO 34 Què passa amb l'error estàndard de la mitjana mostral si multipliquem la mida de la mostra per quatre?

Aproximació de la binomial a la normal: Teorema de De Moivre El càlcul exacte de probabilitats acumulades en una distribució binomial amb valors alts de pot resultar feixuc.

El Teorema de De Moivre demostra que, sota determinades premisses, la distribució binomial es pot aproximar de forma satisfactòria mitjançant una campana de Gauss amb els seus mateixos moments característics: Recordant que una binomial presenta una esperança de i una variància de , la variable discreta s'aproxima a una normal continua: Així mateix, si es treballa amb la proporció mostral de successos ( ) en una població amb paràmetre , aquesta es distribueix asimptòticament com: Per poder aplicar aquesta aproximació cal verificar les condicions d'aplicabilitat resumides a continuació: Situació mostral Condició del paràmetre Criteri de validesa Mostra gran ( ) Probabilitat intermèdia ( ) Aproximació directa permesa Mostra reduïda o Successos rars Acceptable només si Mostra reduïda o Successos molt freqüents Acceptable només si Per recordar-ho Per comprovar de forma unificada si una binomial es pot aproximar a una distribució normal, assegura't que tant el nombre esperat de successos favorables ( ) com el de desfavorables ( ) siguin com a mínim iguals a 5.

B(n, p) n E(X) = n p Var(X) = n p (1 p) X binomial N(n p, ) n p (1 p) = p ^ n X π p ^ N π, ( n π(1 π) ) Z = n π(1 π) π p ^ n 30 0,1 < p < 0,9 p 0,1 n p 5 p 0,9 n (1 p) 5 n p n (1 p) Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 23 IDEES CLAU En les variables contínues, la probabilitat puntual és sempre nul·la: , i l'àrea total sota la funció de densitat és igual a 1. La distribució normal és simètrica al voltant de (on coincideixen mitjana, mediana i moda) i té els punts d'inflexió a . La tipificació permet traslladar qualsevol distribució normal a la normal estàndard . L'interval de probabilitat del 95% d'una variable normal queda definit exactament per .

El Teorema del Límit Central postula que per a la mitjana mostral segueix una , independentment de la distribució original. La binomial s'aproxima a una normal de mitjana i desviació si amb , o bé si i . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 35. Per quina raó la probabilitat P(X = 4) és exactament zero quan X segueix una distribució normal? 36. En quina circumstància la distribució de les mitjanes mostrals és estrictament normal fins i tot amb mostres petites (per exemple n = 5)? 37. Com es calcula l'error estàndard de la mitjana a partir de les dades poblacionals? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 38.

Quina és la probabilitat d'un valor puntual concret en una distribució normal? 39. On es troben els punts d'inflexió a la funció de densitat normal? 40. Quin valor crític delimita el 95% central a la distribució normal estàndard? 41. Quina és la desviació de la mitjana mostral segons el Teorema del Límit Central?

P (X = a) = 0 N(μ, σ) μ μ ± σ Z = σ X μ N(0, 1) μ ± 1,96 σ n 25–30 N μ, ( n σ ) B(n, p) n p n p (1 p) n 30 0,1 < p < 0,9 n p 5 n (1 p) 5 Exactament 0,5 a) El valor de f(x) b) Depèn de la dispersió c) Sempre és zero d) A mu ± sigma a) Als extrems infinits b) A l'origen zero c) A mu ± 1,96 sigma d) ±3,00 a) ±1,96 b) ±2,58 c) ±1,64 d) sigma multiplicat per n a) sigma al quadrat b) sigma dividit per arrel de n c) sigma dividit entre n d) Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 24 5 Inferència per estimació — Intervals de confiança per a mitjanes, variàncies i proporcions EN ACABAR SABRÀS Diferenciar un interval de probabilitat d'un interval de confiança poblacional Calcular l'interval de confiança per a la mitjana segons es conegui o no la variància poblacional Construir intervals de confiança per a la variància poblacional emprant la distribució Khi- quadrat Determinar la mida mostral necessària per assolir una precisió objectiu en mitjanes i proporcions PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 42 Per què no podem dir que hi ha un 95 % de probabilitat que el paràmetre poblacional sigui dins d'un interval que ja hem calculat?

La inferència estadística permet transferir propietats observades en una mostra cap a paràmetres desconeguts d'una població completa. Mentre que una estimació puntual assigna un únic valor numèric al paràmetre, l'estimació per intervals construeix un rang de valors plausibles acompanyat d'una probabilitat d'encert anomenada nivell de confiança. ESQUEMA Mètodes d'estimació per intervals de confiança Fonaments de l'estimació per intervals Quan s'extreu una mostra aleatòria, la mitjana mostral o la proporció mostral funcionen com a estimadors puntuals dels paràmetres poblacionals i . Tanmateix, una única xifra no reflecteix la variabilitat inherent al mostreig.

Per capturar aquesta incertesa, es defineix un interval de confiança sumant i restant a l'estimador una quantitat coneguda com a marge d'error o precisió ( ). Mitjana poblacional Estimació de la mitjana d'una població Variància coneguda Utilitza distribució normal estàndard Z Variància desconeguda Utilitza t de Student amb n-1 gl Variància poblacional Estimació de la dispersió Distribució Khi-quadrat Asimètrica amb n-1 gl en [0, ) Proporció poblacional Estimació d'atributs dicotòmics Aproximació normal Mitjançant condicions de De Moivre X ˉ p μ π Δ Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 25 Convé diferenciar l'interval de probabilitat de l'interval de confiança.

L'interval de probabilitat descriu entre quins límits s'espera trobar el 95 % de les observacions individuals o mitjanes si els paràmetres poblacionals fossin coneguts (vegeu «Variables aleatòries contínues — Distribució normal i Teorema del Límit Central»). En contrast, l'interval de confiança s'aplica quan el paràmetre poblacional és desconegut i es vol delimitar a partir de les dades d'una mostra concreta. Esquema conceptual dels intervals de confiança del 95 % Si es prenguessin infinites mostres de la mateixa mida i es calculés un interval per a cadascuna, el 100(1- )\% d'aquests intervals cobriria el paràmetre vertader, mentre que una fracció no el contindria.

COMPROVA-HO 43 Quina diferència conceptual existeix entre un interval de probabilitat i un de confiança? Interval de confiança per a la mitjana amb variància poblacional coneguda Quan la variable segueix una distribució normal o la mida mostral és gran ( o segons el Teorema del Límit Central ) i es coneix la variància de la població ( ), la tipificació de la mitjana es regeix per la distribució normal estàndard . DEFINICIÓ L'interval de confiança per a la mitjana amb coneguda és: on representa l'error estàndard de la mitjana i és el valor crític que deixa una àrea a cada cua.

α α n > 25 n 30 σ2 Z = ( X ˉ μ)/(σ/ ) n μ σ X ˉ z α/2 < n σ μ < + X ˉ z α/2 n σ σ/ n z α/2 α/2 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 26 EXEMPLE En una mostra de mida extreta d'una població normal amb variància ( ), s'obté una mitjana . Per a una confiança del 95 % ( , on i ): L'interval resulta , és a dir, 158,37 < < 161,63. Distribució t de Student i estimació de la mitjana amb variància desconeguda A la pràctica mèdica i biològica, la desviació típica poblacional gairebé mai és coneguda. Cal estimar-la mitjançant la desviació típica de la mostra .

En substituir per , l'estadístic generat ja no segueix una distribució normal, sinó una distribució t de Student amb graus de llibertat: Gràfica de convergència de la t de Student cap a la normal La distribució comparteix la forma de campana simètrica centrada en zero amb la normal, i el seu domini s'estén de a . Tanmateix, presenta unes cues més amples (major dispersió) a causa de la incertesa afegida per l'estimació de . A mesura que la mida de la mostra creix ( o aproximadament quan ), la corba s'estreny i convergeix cap a la normal estàndard Z.

L'interval de confiança resultant pren la forma següent: EXEMPLE S'avalua l'edat de defunció en pacients afectats de tuberculosi, obtenint una mitjana anys i una desviació típica mostral anys. Amb , els graus de llibertat són . A les taules es troba el valor crític . El càlcul del marge d'error és: L'interval al 95 % és , és a dir, 47,1 < < 52,9 anys.

n = 144 σ = 2 100 σ = 10 = X ˉ 160 1 α = 0,95 α = 0,05 z = 0,025 1,96 Δ = 1,96 = 144 10 1,96 = 12 10 1,63 160 1,63 < μ < 160 + 1,63 μ σ s σ s ν = n 1 t = n 1 s/ n μ X ˉ t + s ν ν > 25 X ˉ t n 1;α/2 < n s μ < + X ˉ t n 1;α/2 n s n = 19 = X ˉ 50 s = 6 α = 0,05 ν = 19 1 = 18 t = 18;0,025 2,101 Δ = 2,101 19 6 2,101 1,376 = 2,89 50 ± 2,89 μ Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 27 COMPROVA-HO 44 Per què la distribució t de Student té cues més pesades que la normal estàndard? Distribució Khi-quadrat i estimació de la variància poblacional Per estimar la dispersió d'una variable normal a través de la variància poblacional s'empra la distribució Khi-quadrat de Pearson ( ).

Si es defineixen variables normals estàndard independents , la suma dels seus quadrats segueix aquesta distribució: Gràfica de la densitat asimètrica de la distribució Khi-quadrat Les característiques clau de la distribució Khi-quadrat inclouen: Domini acotat: està definida únicament en l'interval , ja que sorgeix de valors quadràtics. Asimetria: és una funció asimètrica cap a la dreta que depèn exclusivament dels graus de llibertat . Ús de taules: les taules indiquen l'àrea acumulada a la dreta del valor crític. A causa de l'asimetria, els valors de la cua esquerra i dreta s'han de determinar per separat.

La relació bàsica entre la variància mostral corregida i la variància poblacional estableix que l'estadístic segueix una distribució amb graus de llibertat. Aïllant el paràmetre s'arriba a l'expressió de l'interval: σ2 χ2 ν Z , Z , … , Z 1 2 ν χ = ν 2 Z + 1 2 Z + 2 2 + Z ν 2 [0, ) ν = n 1 α s2 σ2 (n 1)s /σ 2 2 χ2 n 1 < χ n 1;α/2 2 (n 1)s2 σ < 2 χ n 1;1 α/2 2 (n 1)s2 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 28 ERROR FREQÜENT En l'interval de la variància, (el valor numèricament més gran de la cua dreta) es col·loca al denominador del límit esquerre inferior, i (el valor més petit) al límit dret superior.

Invertir-los dona un límit inferior superior al límit superior, invalidant el resultat. EXEMPLE S'analitza el diàmetre muscular de la cuixa en una mostra de esportistes d'una població normal. La variància mostral és . Es construeix l'interval per a amb un nivell de confiança del 99 % ( , ).

Amb graus de llibertat: Valor crític superior: Valor crític inferior: Substituint en la fórmula: Interval de confiança per a una proporció poblacional Quan s'analitzen variables qualitatives dicotòmiques (vegeu «Estadística descriptiva univariant — Tipus de variables i mesures característiques»), el nombre d'èxits segueix una distribució binomial (vegeu «Probabilitat i variables aleatòries discretes — La distribució binomial»).

Quan la mostra és prou gran, aplicant les condicions de De Moivre ( amb , o bé comprovant que i ), la proporció mostral s'aproxima mitjançant una distribució normal centrada en la proporció poblacional : Substituint per l'estimador mostral en l'error estàndard, l'interval de confiança pren l'estructura: EXEMPLE En una revisió odontològica sobre individus adults, 23 presenten càries ( ). Per a un nivell de significació ( ): L'interval de confiança és , és a dir, s'estima que entre el 14,8 % i el 31,2 % de la població té càries (0,148 < < 0,312).

χ n 1;α/2 2 χ n 1;1 α/2 2 n = 10 s = 2 0,15 σ2 1 α = 0,99 α = 0,01 ν = 9 χ = 9;0,005 2 23,589 χ = 9;0,995 2 1,735 < 23,589 9 0,15 σ < 2 1,735 9 0,15 0,057 < σ < 2 0,778 n 30 0,1 < p < 0,9 n p 5 n(1 p) 5 p = X/n π p N π, ( n π(1 π) ) Z = n π(1 π) p π π p p z < α/2 n p(1 p) π < p + z α/2 n p(1 p) n = 100 p = 0,23 α = 0,05 z = 0,025 1,96 Δ = 1,96 = 100 0,23 0,77 1,96 = 100 0,1771 1,96 0,042 = 0,082 0,23 0,082 < π < 0,23 + 0,082 π Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 29 COMPROVA-HO 45 Quines condicions permeten emprar la distribució normal per estimar una proporció poblacional?

Càlcul de la dimensió mostral segons la precisió Abans de dur a terme una investigació, cal determinar el nombre d'individus requerits ( ) per garantir que el marge d'error o semiamplitud de l'interval no superi un llindar prefixat. La precisió depèn de la dispersió de la variable, del nivell de confiança escollit i de la mida de la mostra. Paràmetre objectiu Fórmula de precisió ( ) Mida mostral requerida ( ) Mitjana ( ) Proporció ( ) Quan no es coneix , teòricament s'empraria la distribució de Student, però com que aquesta depèn de (la incògnita del problema), per a mostres grans ( ) s'aproxima mitjançant el valor crític .

PER RECORDAR-HO El valor de calculat sempre s'arrodoneix a l'enter superior. Si el resultat és 61,1 o 61,5, es necessiten com a mínim 62 individus per assegurar que l'error no depassi l'especificat. EXEMPLE Recuperant les dades de tuberculosi ( , ), es vol determinar quants pacients calen per aconseguir una precisió màxima de anys: En el cas de la proporció de càries ( , ), per fixar una precisió del 5 % ( ) al 95 % de confiança: n Δ Δ n μ Δ = z α/2 n s n = ( Δ z s α/2 ) 2 π Δ = z α/2 n p(1 p) n = Δ2 z p(1 p) α/2 2 σ t n n > 25 z α/2 n Identificar les exigències: fixar el nivell de confiança ( ) i el marge d'error tolerat ( ).

1 z α/2 Δ Disposar d'una estimació de la variabilitat: utilitzar una variància prèvia o proporció d'un estudi pilot. 2 s2 p Aplicar la fórmula corresponent: calcular el valor teòric de . 3 n Arrodonir cap amunt: seleccionar el nombre enter immediatament superior. 4 s = 6 α = 0,05 Δ = 1,5 n = = ( 1,5 1,96 6 ) 2 = ( 1,5 11,76 ) 2 (7,84) = 2 61,47 62 p = 0,23 p(1 p) 0,17 Δ = 0,05 n = = (0,05)2 1,96 0,17 2 = 0,0025 3,8416 0,17 261,2 262 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 30 IDEES CLAU Un interval de confiança delimita el paràmetre poblacional afegint i restant una precisió a l'estimador puntual.

Per a la mitjana amb desviació típica desconeguda, s'utilitza la distribució t de Student amb graus de llibertat. L'interval per a la variància es construeix amb la distribució Khi-quadrat ( ), que és asimètrica i de valors positius. L'estimació de la proporció requereix una aproximació normal justificada per les condicions de De Moivre. El càlcul del volum mostral necessari sempre s'arrodoneix cap a l'enter superior per garantir la precisió objectiu. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 46. Quin paper compleix el valor crític o en l'amplitud de l'interval? 47. Com s'ordenen els valors crítics de Khi-quadrat en els límits de l'interval de la variància? 48.

Per quina raó pràctica s'arrodoneix sempre cap amunt? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 49. Quina distribució s'empra per estimar la mitjana si la desviació típica poblacional és desconeguda? 50. Quin és el domini de definició de la distribució Khi-quadrat? 51. Si el càlcul teòric de la mida mostral resulta n = 84,2, quin nombre de subjectes cal reclutar? 52. Què ocorre amb la corba de la distribució t de Student quan augmenta la mida mostral?

6 n 1 χ2 z α/2 t n 1;α/2 n Binomial exacta a) t de Student b) Khi-quadrat de Pearson c) Normal estàndard Z d) De 0 a + a) De -1 a +1 b) Exclusivament entre 0 i 1 c) De - a + d) 84 subjectes a) 85 subjectes b) 90 subjectes c) 80 subjectes d) Adquireix valors negatius a) Aproxima la normal estàndard b) Es torna asimètrica c) Amplia les seves cues d) Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 31 Fonaments del contrast d'hipòtesis — Proves per a una sola mostra EN ACABAR SABRÀS Formular formalment la hipòtesi nul·la i l'alternativa per a una sola mostra utilitzant paràmetres poblacionals Distingir entre l'estadístic experimental i el valor crític teòric per delimitar la regió de rebuig Prendre decisions estadístiques comparant el p-valor amb el nivell de significació Seleccionar la distribució adequada per contrastar mitjanes, proporcions o variàncies PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 53 Si una prova clínica no troba diferències significatives entre un tractament i el placebo, ha demostrat que actuen exactament igual?

La inferència estadística proporciona les eines necessàries per prendre decisions sobre poblacions a partir de la informació recollida en mostres. Mentre que l'estimació puntual i per intervals (vegeu «Inferència per estimació — Intervals de confiança per a mitjanes, variàncies i proporcions») busca determinar els valors plausibles d'un paràmetre desconegut, el contrast d'hipòtesis avalua si les dades empíriques contradiuen una afirmació prèvia formulada sobre aquest paràmetre.

Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 32 ESQUEMA Estructura del contrast d'hipòtesis per a una sola mostra Estructura del contrast: hipòtesi nul·la i alternativa Un procediment de decisió estadística enfronta dues propostes complementàries que han de cobrir conjuntament tot l'espai mostral possible: Hipòtesi nul·la ( ): representa la situació de referència, l'estabilitat, l'absència de canvi o la igualtat. Assumeix que qualsevol variació observada és fruit de l'atzar mostral. La hipòtesi nul·la sempre conté el signe d'igualtat ( , o ). Hipòtesi alternativa ( ): expressa la presència d'un canvi real, un efecte o una diferència substancial respecte al model de partida.

És l'afirmació que l'investigador sol voler contrastar o aportar evidència a favor. S'expressa amb desigualtats estrictes ( , o ). Totes dues hipòtesis s'enuncien sempre exclusivament mitjançant paràmetres poblacionals ( per a la mitjana, o per a la dispersió, i per a la proporció), mai a través d'estadístics mostrals com , o .

Contrast per a una mostra Decisió inferencial sobre una població Formulació d'hipòtesis Definició d'H0 (igualtat) i H1 Nivell de significació Fixació del risc alfa d'error tipus I Estadístic de contrast Mesura segons el paràmetre estudiat Mitjana amb sigma coneguda Distribució Normal Z Mitjana amb sigma desconeguda Distribució t de Student Proporció poblacional Aproximació De Moivre Variància poblacional Distribució Khi- quadrat Criteri de decisió Regió crítica i avaluació del p- valor H 0 = H 1 = < > μ σ σ2 π x ˉ s2 p Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 33 Esquema d'inferència que relaciona estadístics de la mostra amb paràmetres poblacionals.

DEFINICIÓ El contrast d'hipòtesis és un procediment formal de presa de decisions basat en la probabilitat, dissenyat per avaluar la compatibilitat de les dades d'una mostra amb una afirmació inicial sobre la població. COMPROVA-HO 54 Per què s'escriu la hipòtesi nul·la com H : μ = 50 i mai com H : x̄ = 50?

Decisions i riscos: el nivell de significació Com que la decisió es fonamenta en una fracció de la població, existeix el risc inevitable de cometre errors: Decisió presa H és certa en realitat H és falsa (H certa) No rebutjar H Decisió correcta ( ) Error de tipus II Rebutjar H Error de tipus I ( ) Decisió correcta (Potència) El nivell de significació (α) és la cota màxima d'error de tipus I assumida prèviament per l'investigador; habitualment es fixa en 0,05. Representa la probabilitat de rebutjar la hipòtesi nul·la sent aquesta vertadera.

Regió crítica i presa de decisions El valor de divideix l'espai de possibles resultats de la distribució teòrica en dues zones ben delimitades pels anomenats valors crítics o estadístics teòrics: Zona de no rebuig (o d'acceptació de ): comprèn l'àrea central sota la corba teòrica amb probabilitat . Si el valor de la mostra hi cau, es manté per falta de proves en contra. Zona de rebuig (o regió crítica): comprèn les cues extremes de la distribució, amb una àrea conjunta de mida . Si l'estadístic experimental cau en aquesta zona, la diferència observada es considera estadísticament significativa i es descarta .

La regla de decisió es pot executar comparant directament els estadístics o bé mitjançant el p-valor: 1 α α α H 0 1 α H 0 α H 0 Bioestadística: Descriptiva, Probabilitat i Inferència 34 PROCÉS Procediment de presa de decisió en el contrast ERROR FREQÜENT Concloure que quan s'ha demostrat que és vertadera. En un contrast d'hipòtesis mai no es demostra que sigui certa: simplement s'admet que les dades disponibles no han aportat prou evidència estadística per descartar-la. Es parla sempre de «no rebutjar », mai…