Exercice 2.2 - Étude de fonction · Bac Épreuve anticipée de mathématiques (spécialité) Sujets zéro et spécimens sujet 2026 (sujet 1)

On se place dans un repère $(O; \vec{\imath}; \vec{\jmath})$ orthogonal.

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x) = x^2 - 5x + 4$. On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$.

2. On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0{,}5; 8]$ par:

$$f(x) = x - 5 + \frac{4}{x}$$

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.

a)

Vérifier que pour tout réel $x$, de l'intervalle $[0{,}5; 8]$ on a $f(x) = \frac{g(x)}{x}$.

b)

À l'aide de la question 1.a, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.

c)

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0{,}5; 8]$.

Montrer que tout réel $x$ de l'intervalle $[0{,}5; 8]$ on a:

$$f'(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}$$

d)

En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0{,}5; 8]$.

e)

Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions 2.b et 2.d.