Exercice A · Bac Mathématiques Sujets zéro et spécimens sujet 2021 (sujet 1)

Exercice A (5 points)

Principaux domaines abordés

Logarithme

Dérivation, convexité, limites

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé:

la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$;

la tangente $T_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $(\frac{1}{e}\,;\,e)$;

la tangente $T_B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ de coordonnées $(1\,;\,2)$.

La droite $T_A$ est parallèle à l'axe des abscisses. La droite $T_B$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(3\,;\,0)$ et l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0\,;\,3)$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Partie I

1.

Déterminer graphiquement les valeurs de $f'\left(\frac{1}{e}\right)$ et de $f'(1)$.

2.

En déduire une équation de la droite $T_B$.

Partie II

On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par: $$f(x) = \frac{2 + \ln(x)}{x}$$

1.

Par le calcul, montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points $A$ et $B$ et qu'elle coupe l'axe des abscisses en un point unique que l'on précisera.

2.

Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

3.

Montrer que, pour tout $x \in ]0\,;\,+\infty[$, $f'(x) = \frac{-1 - \ln(x)}{x^2}$.

4.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

5.

On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$. On admet que, pour tout $x \in ]0\,;\,+\infty[$, $f''(x) = \frac{1 + 2\ln(x)}{x^3}$.

Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.