Exercice 2 - Partie A · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2023

Exercice 2 (6 points) — Thème: fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $$f(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{-x} + x.$$

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{-x} + x.$$

1.

Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

a.

Démontrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$f''(x) = \left(x - \frac{3}{2}\right)\mathrm{e}^{-x}.$$

b.

En déduire les variations et le minimum de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$.

c.

Justifier que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) > 0$.

d.

En déduire que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

e.

Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution.