Exercice 3 - Question 3 · Bac Mathématiques Polynésie 2023 (jour 1)

Justification de l'affirmation 3

Réponse : Pour tout $x > 0$ : $$\frac{\mathrm{e}^{2x} - 1}{\mathrm{e}^x - x} = \frac{\mathrm{e}^{2x}\left(1 - \mathrm{e}^{-2x}\right)}{\mathrm{e}^x\left(1 - \frac{x}{\mathrm{e}^x}\right)} = \mathrm{e}^x \cdot \frac{1 - \mathrm{e}^{-2x}}{1 - \frac{x}{\mathrm{e}^x}}$$ Or, quand $x \to +\infty$ : - $\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{-2x} = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} (1 - \mathrm{e}^{-2x}) = 1$ - Par croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^x} = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{x}{\mathrm{e}^x}\right) = 1$ Par produit et quotient des limites : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{2x} - 1}{\mathrm{e}^x - x} = +\infty \neq 0$$