Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Polynésie 2026 (jour 1)

Exercice 1. (5 points)

Une école de surf travaille avec des planches en mousse pour les cours débutants, et d'autres en résine pour les cours de perfectionnement. Les planches en mousse représentent 80% du stock de l'école.

La gérante observe qu'après chaque saison,

75% des planches en mousse sont en bon état et réutilisables la saison suivante. Les autres sont recyclées (et donc non réutilisables);

60% des planches en résine sont en bon état, les autres sont soit consolidées, soit recyclées.

Après une saison, on choisit une planche au hasard et on s'intéresse aux événements suivants:

$M$: « La planche est en mousse »;

$B$: « La planche est en bon état »;

$R$: « La planche sera recyclée »;

$C$: « La planche sera consolidée ».

Partie B

La gérante du club de surf envisage de proposer à certains clients une remise pour la saison suivante.

Pour cela, elle imagine le jeu suivant qui sera proposé à chaque client:

Une urne contient 5 boules noires et un nombre $n$ de boules rouges.

Les boules sont indiscernables au toucher.

Le client tire simultanément deux boules dans l'urne.

Si les deux boules sont de même couleur, le client gagne une remise, sinon, il perd le jeu et n'obtient pas de remise.

1.

Justifier que la probabilité $p$ de gagner une remise est:

$$p = \frac{\binom{5}{2} + \binom{n}{2}}{\binom{n+5}{2}}$$

2.

En déduire que la probabilité $p$ peut s'écrire:

$$p = \frac{20 + n(n - 1)}{(n + 5)(n + 4)}$$

3.

La gérante souhaite s'assurer que la probabilité de gagner est inférieure à $\frac{1}{2}$.