Exercice 2 - Partie C · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 2)

Exercice 2 (6 points)

Dans le repère orthonormé $(O\;\ I, J)$ ci-contre, on a représenté:

la droite d'équation $y = x$;

la droite d'équation $y = 1$;

la droite d'équation $x = 1$;

la parabole d'équation $y = x^2$.

On peut ainsi partager le carré OIKJ en trois zones.

Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie C: un second jeu.

Un joueur, appelé joueur n°1, lance une fléchette sur le carré précédent. Comme dans la partie B, on admet que la probabilité que la fléchette tombe sur chacune des zones est égale à l'aire de cette zone.

Le joueur gagne une somme égale, en euros, au numéro de la zone. Par exemple, si la fléchette tombe sur la ZONE 3, le joueur gagne 3 euros.

On note $X_1$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur n°1.

On note respectivement $E(X_1)$ et $V(X_1)$ l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X_1$.

1. a.

1. b.

Montrer que $V(X_1) = \dfrac{5}{9}$.

2. Un joueur n°2 et un joueur n°3 jouent à leur tour, dans les mêmes conditions que le joueur n°1. On admet que les parties de ces trois joueurs sont indépendantes les unes des autres.

On note $X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires donnant les gains des joueurs n°2 et n°3.

On note $Y$ la variable aléatoire définie par $Y = X_1 + X_2 + X_3$.

2. a.

2. b.

2. c.

Justifier que $V(Y) = \dfrac{5}{3}$.