Exercice 1 - Questions 5 et 6 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 1)

On dispose d'un sac et de deux urnes A et B.

Le sac contient 4 boules: 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.

L'urne A contient 5 billets: 3 billets de 50 euros et 2 billets de 10 euros.

L'urne B contient 4 billets: 1 billet de 50 euros et 3 billets de 10 euros.

Un joueur prend au hasard une boule dans le sac.

Si c'est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l'urne A.

Si c'est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l'urne B.

On note les évènements suivants:

— $A$: « le joueur obtient une boule avec la lettre A »;

— $C$: « le joueur obtient un billet de 50 euros ».

5.

On note $X_1$ la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur. Exemple: si le joueur obtient un billet de 50 euros, on a $X_1 = 50$.

Montrer que l'espérance $E(X_1)$ est égale à $23{,}5$ et que la variance $V(X_1)$ est égale à $357{,}75$.

6. a.

Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie. On note $X_2$ la variable aléatoire qui donne la somme obtenue par le joueur lors de cette deuxième partie. On note $Y$ la variable aléatoire ainsi définie: $Y = X_1 + X_2$.

Montrer que $E(Y) = 47$.

6. b.

Expliquer pourquoi on a $V(Y) = V(X_1) + V(X_2)$.