Exercice B - Le spa gonflable · Bac Sciences de l'Ingénieur Métropole 1 remplacement 2022

Q1. Exprimer la capacité thermique C de l'eau du spa en fonction de V_eau, ρ_eau et c_eau. En déduire l'expression de la variation d'énergie interne ΔU

Réponse : $C = m_{\text{eau}} \cdot c_{\text{eau}} = \rho_{\text{eau}} \cdot V_{\text{eau}} \cdot c_{\text{eau}}$ $$\Delta U = C \cdot \Delta T = \rho_{\text{eau}} \cdot V_{\text{eau}} \cdot c_{\text{eau}} \cdot (T_f - T_i)$$

Q1. Valeur de la variation d'énergie interne ΔU de l'eau du spa lorsque sa température varie de T_i à T_f = 37 °C

Réponse : $6{,}66\times 10^7$ J / $66{,}6$ MJ / $6{,}66\times 10^4$ kJ

Q2. À l'aide notamment de la figure 2, montrer que la valeur de la puissance thermique moyenne P reçue par l'eau du spa lors de la mise en service est de l'ordre de 1,5 kW.

Réponse : La durée nécessaire au chauffage se lit graphiquement sur la figure 2 : $\Delta t = 11{,}5\text{ heures}$. La puissance thermique reçue par l'eau du spa est : $$P_R = \frac{\Delta U}{\Delta t} = \frac{6{,}66\times 10^7\text{ J}}{11{,}5\times 3600\text{ s}} = 1{,}61\times 10^3\text{ W} = 1{,}61\text{ kW}$$

Q3. Comparer cette puissance thermique moyenne P reçue par l'eau du spa avec la puissance de chauffage du spa P_chauffage et commenter.

Réponse : $$\eta = \frac{P_R}{P_{\text{chauffage}}} = \frac{1{,}61\times 10^3\text{ W}}{2{,}20\times 10^3\text{ W}} = 0{,}73$$ Le rendement du spa lors de la mise en service est de $73\,\%$. Un peu plus d'un quart de l'énergie utilisée pour chauffer l'eau est dissipée (chauffage du spa gonflable, de l'air ambiant...).

Q4. Expliquer qualitativement pourquoi il est, a priori, intéressant, d'un point de vue thermique, que les parois soient remplies d'air.

Réponse : Les parois sont remplies d'air pour limiter la conduction thermique ; l'air est un bon isolant thermique.

Q5. Déterminer le sens du transfert thermique dans cette situation. Justifier.

Réponse : Un transfert thermique se fait du système de température la plus élevée vers le système de température la plus basse, donc du système {eau du spa} vers l'extérieur.

Q6. Établir l'équation différentielle qui caractérise alors l'évolution temporelle du système {eau du spa}

Réponse : D'après le premier principe pour un système fermé au repos : $\Delta U = W + Q$ soit $m \times c_{\text{eau}} \times (T(t+\Delta t) - T(t)) = Q$ car $W = 0$, le système étant rigide, les forces pressantes ne travaillent pas. On a alors l'égalité : $$m \times c_{\text{eau}} \times (T(t+\Delta t) - T(t)) = h \times S \times (T_{\text{ext}} - T(t)) \times \Delta t$$ On divise par $\Delta t$ : $$\frac{m \times c_{\text{eau}} \times (T(t+\Delta t) - T(t))}{\Delta t} = h \times S \times (T_{\text{ext}} - T(t))$$ On fait tendre $\Delta t$ vers 0 et on divise par $m \times c_{\text{eau}}$ : $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}(t) = \frac{h\times S}{m\times c_{\text{eau}}} (T_{\text{ext}} - T(t))$$ $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}(t) + \frac{h\times S}{m\times c_{\text{eau}}} \times T(t) = \frac{h\times S}{m\times c_{\text{eau}}} \times T_{\text{ext}}$$ et donc : $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{T(t)}{\tau} = \frac{T_{\text{ext}}}{\tau} \quad \text{avec} \quad \tau = \frac{m\times c_{\text{eau}}}{h\times S} = \frac{\rho_{\text{eau}}\times V_{\text{eau}}\times c_{\text{eau}}}{h\times S}$$

Q7. Valeur de τ déterminée graphiquement

Réponse : $206$ min / $3{,}4$ h / $3{,}43$ h

Q7. Commenter la valeur de τ

Réponse : Ce résultat est d'un ordre de grandeur -quelques heures- cohérent avec les observations de la vie courante.

Q8. Expliquer qualitativement comment évolue la valeur de τ comparée à la situation précédente.

Réponse : Lorsque les bulles sont en marche, la convection est bien plus importante donc la valeur de $h$ augmente. D'après l'expression de tau établie à la question 6, la durée caractéristique d'évolution de la température diminue et la température de l'eau du spa diminue plus vite que précédemment.

Q9. Sur l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, tracer alors l'allure de la courbe d'évolution de la température que l'on obtiendrait dans ce dernier cas.

Réponse : La courbe part du même point initial $(0\text{ min}, 37\text{ }^\circ\text{C})$, décroît plus rapidement que la courbe précédente (pente initiale plus raide en valeur absolue, courbe entièrement située en-dessous de la courbe initiale), et tend vers la même asymptote horizontale de température finale $T_{\text{ext}} = 9\text{ }^\circ\text{C}$.