Exercice 1 - Poussée d'Archimède et équilibre · Bac Physique-Chimie Métropole 2 remplacement 2021

EXERCICE 1 commun à tous les candidats (10 points)

VOL D'UNE MONTGOLFIÈRE

Une montgolfière est un moyen de transport aérien constitué d'une nacelle pouvant contenir des passagers. Au-dessus de la nacelle, se trouvent:

une enveloppe en nylon appelée le ballon dont on considère le volume constant;

un brûleur permettant de réaliser la combustion de propane dans le dioxygène de l'air; ce propane est stocké dans des bonbonnes transportées dans la nacelle.

De nombreuses sorties sont proposées, d'une durée moyenne d'une heure. Une voiture est contrainte de suivre au sol la montgolfière pour récupérer les passagers et le matériel lors de l'atterrissage. En effet, le lieu d'atterrissage ne peut pas être connu de façon sûre au moment du départ: il est dépendant des conditions météorologiques.

Les objectifs de cet exercice sont:

de déterminer la masse totale qu'il est possible d'embarquer dans la montgolfière;

de trouver l'autonomie de vol maximale possible avec la montgolfière.

On étudie dans cet exercice une enveloppe en nylon de modèle « M-77 » de 0,1 mm d'épaisseur, de volume $V = 2\,200\ \mathrm{m}^3$, à laquelle on accroche une nacelle de modèle « C-1 », de masse $m_{nacelle} = 56\ \mathrm{kg}$. La nacelle est capable d'embarquer jusqu'à trois personnes ainsi que quatre bonbonnes pesant chacune 40 kg et contenant 20 kg de propane chacune.

D'après le site Internet https://escholarship.org/

Données:

intensité de la pesanteur terrestre: $g = 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$;

surface de l'enveloppe du ballon: $S = 847\ \mathrm{m}^2$;

masse par unité de surface de l'enveloppe en nylon: $\varphi_{nylon} = 65\ \mathrm{g\cdot m^{-2}}$;

constante du gaz parfait: $R = 8{,}314\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}$;

masse molaire de l'air: $M_{air} = 29{,}0\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$.

1. Détermination de la masse totale qu'il est possible d'embarquer dans la montgolfière

Au cours d'un vol, la montgolfière se trouve à une altitude de 1,5 km. On considère que la pression $p$ à l'intérieur du ballon est égale à la pression à l'extérieur du ballon. La figure 1 présente l'évolution de la pression de l'air en fonction de l'altitude. L'air est considéré comme un gaz parfait.

Le brûleur n'est pas actionné au moment où on étudie le système.

Figure 1. Pression de l'air en fonction de l'altitude

1.2. Étude du système « montgolfière »

On suit le déplacement du centre de masse G de la montgolfière. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni d'un repère d'espace $(O, \vec{i}, \vec{k})$ présenté sur la figure 2. L'origine au point O est au niveau du sol, au point de décollage de la montgolfière.

On considère qu'il s'exerce seulement deux forces sur le système {montgolfière} composé de la nacelle, de son chargement et du ballon:

le poids $\vec{P}$;

la poussée d'Archimède qui modélise l'action de l'air sur le ballon: $\vec{P_A} = \rho_{\text{ext}} \times V \times g \times \vec{k}$ où $\rho_{\text{ext}}$ représente la masse volumique de l'air extérieur et $V$ représente le volume total de la montgolfière, dont on considère qu'il est égal au volume du ballon.

On considère que la masse d'air présente dans le ballon est constante et que la montgolfière, de masse totale $m$, reste immobile. À la température locale et à l'altitude du vol de 1,5 km, la masse volumique de l'air extérieur au ballon vaut $1{,}06\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$ tandis que la masse volumique de l'air à l'intérieur du ballon vaut $0{,}80\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$.

1.2.1.

Représenter les deux forces s'exerçant sur la montgolfière dans le cas où elle est immobile dans le référentiel terrestre, sans souci d'échelle en utilisant le système d'axes de la figure 2. Justifier.

1.2.2.

Donner l'expression vectorielle du poids $\vec{P}$ de la montgolfière.

1.2.3.

Établir l'expression vectorielle de la poussée d'Archimède $\vec{P_A}$ en fonction de $g$, $m$ et $\vec{k}$.

1.2.4.

En déduire la masse totale embarquée dans la nacelle à cette altitude. Commenter.