Exercice 1 - Interférences · Bac Physique-Chimie Métropole 2025 (sujet 2)

Exercice 1 - Mesure de l'épaisseur d'un film alimentaire (11 points)

Les films alimentaires étirables sont des films plastiques souples et transparents utilisés principalement pour conserver les aliments. Ils sont fabriqués en polymères tels que le polyéthylène basse densité (PEBD) et parfois le polychlorure de vinyle (PVC). Ces films offrent une barrière contre l'air, l'humidité et les contaminants, aidant ainsi à prolonger la fraîcheur des aliments et à réduire les déchets alimentaires. L'épaisseur du film est un paramètre essentiel des propriétés mécaniques (élasticité, résistance à la traction) des films étirables, ainsi que de leur impact écologique.

L'objectif de cet exercice est d'étudier différentes méthodes de détermination de l'épaisseur d'un film alimentaire.

1. Mesure de l'épaisseur d'un film alimentaire par capacimétrie

Données:

Un condensateur plan est constitué de deux armatures métalliques, parallèles entre elles, chacune de surface $S$, séparées par un matériau isolant (papier, plastique) d'épaisseur $e$;

Expression littérale de la capacité $C$ d'un tel condensateur:$$C = \frac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot S}{e}$$avec: $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}$: permittivité du vide;

$\varepsilon_r$: permittivité relative du matériau isolant;

Permittivité relative du film alimentaire étudié: $\varepsilon_{r\text{, film}} = 2{,}3$;

Permittivité relative de l'air: $\varepsilon_{r\text{, air}} = 1{,}0$;

Épaisseur de référence du film alimentaire: $e_{\text{film, ref}} = 7{,}6\ \mu\text{m}$;

Pour discuter de l'accord du résultat d'une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\frac{|x - x_{\text{ref}}|}{u(x)}$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{\text{ref}}$ la valeur de référence et $u(x)$ l'incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$.

On réalise un condensateur plan en intercalant entre deux feuilles de papier aluminium rectangulaires, de dimensions $21\text{ cm} \times 28\text{ cm}$, une seule couche du film transparent d'épaisseur $e$. On note $C$ sa capacité. La figure 1 ci-dessous présente un schéma de ce dispositif.

On réalise ensuite le montage, schématisé en figure 2, constitué du condensateur réalisé, d'un conducteur ohmique de résistance $R = 1{,}00\text{ k}\Omega$, d'un interrupteur et d'un générateur idéal délivrant une tension continue $E = 4{,}9\text{ V}$.

3. Mesure de l'épaisseur du film alimentaire par interférométrie

Dans le but d'obtenir une mesure plus exacte de l'épaisseur du film alimentaire, on utilise une méthode interférométrique dans laquelle on éclaire le film avec une source lumineuse comme indiqué sur la figure 5 ci-dessous.

On ne s'intéresse dans cette étude qu'à deux rayons lumineux ① et ② issus d'un même rayon incident, comme représenté sur la figure 5:

rayon ①: rayon issu du rayon incident qui est réfléchi sur la surface supérieure du film alimentaire;

rayon ②: rayon issu du rayon incident qui est transmis dans le film puis réfléchi par la surface inférieure du film et qui ressort par la surface supérieure du film.

Les rayons ① et ② sont parallèles entre eux. Grâce à une lentille, ils se superposent à l'entrée d'une fibre optique, elle-même reliée à un spectromètre.

Pour une source monochromatique de longueur d'onde $\lambda$, la superposition des deux ondes associées aux rayons ① et ② donne lieu à des interférences. On note $\delta$ la différence de chemin optique entre les deux ondes.

Q11.

Préciser la relation entre $\delta$ et $\lambda$ permettant d'obtenir des interférences constructives.

L'ordre d'interférence $p$ est, dans le cas général, défini comme le rapport $p = \frac{\delta}{\lambda}$. On admet que, dans les conditions de l'expérience, l'ordre d'interférence $p$ est donné par la relation suivante:

$$p = \frac{\beta \times e_{\text{film}}}{\lambda} + \frac{1}{2} \quad \text{relation 1}$$

où $\beta$ est un paramètre sans dimension dépendant de l'indice de réfraction du film et de l'angle d'incidence de la lumière sur le film.

Q12.

Préciser, en justifiant sans calcul, le phénomène observé lorsque le rapport $\frac{\beta \times e_{\text{film}}}{\lambda}$ est un nombre entier.

Dans l'expérience étudiée, le film est éclairé en lumière blanche et on analyse le spectre de la lumière transportée par la fibre. On donne ci-dessous sur la figure 6a le spectre de la lumière incidente et sur la figure 6b celui de la lumière captée par la fibre optique.

Q13.

Le spectre de la figure 6b présente des maxima d'intensité dont certains sont entourés en pointillés. Expliquer leur origine.

L'analyse de la figure 6b permet de représenter l'évolution de l'ordre d'interférence en fonction de l'inverse de la longueur d'onde. Les résultats obtenus et leur modélisation sont représentés sur la figure 7.

Q14.

Indiquer, en justifiant, si les résultats expérimentaux sont cohérents avec la relation 1.

Q15.

Déduire de ces mesures la valeur de l'épaisseur $e_{\text{film}}$ du film alimentaire, sachant que, dans les conditions de l'expérience, $\beta = 3{,}02$. Commenter.