Exercice 1 - Modèle du gaz parfait · Bac Physique-Chimie Métropole 2026 (sujet 1)

Exercice 1 – Étude d'un lave-linge (11 points)

La maitrise de la durée des différentes étapes du cycle de lavage d'un lave-linge permet de garantir un nettoyage efficace tout en préservant les vêtements. Chaque phase - lavage, rinçage, essorage - est ainsi optimisée, en fonction du type de linge, en termes de consommation d'eau, d'énergie consommée et de durabilité de la machine.

L'objectif de cet exercice est d'étudier les premières phases du fonctionnement d'un lave-linge, le remplissage de la cuve et le chauffage de l'eau, lors de tests effectués en l'absence de linge.

1. Remplissage de la cuve

Le lave-linge peut être assimilé à un tambour tournant dans une cuve de forme cubique et de côté $a$. Pour réguler le niveau d'eau dans la cuve d'un lave-linge, un pressostat mesure la pression de l'air dans une chambre de compression cylindrique reliée au bas de la cuve: lorsque le niveau d'eau monte dans la cuve, une partie de cette eau entre dans la chambre de compression et l'air enfermé à l'intérieur est comprimé. Quand la pression atteint une valeur seuil, le pressostat envoie un signal et interrompt le remplissage.

Dans cette partie, on s'intéresse à un test de la machine: le pressostat est alors réglé pour permettre le remplissage de la moitié de la cuve.

Données

Volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $H$: $V = π · R^2 · H$;

Intensité de la pesanteur: $g = 9{,}81\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}$;

Masse volumique de l'eau: $\rho_{\text{eau}} = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$;

Paramètres associés au lave-linge étudié: la cuve est un cube de côté $a = 60{,}0\text{ cm}$ et de volume $V_c = a^3$;

la chambre de compression est assimilée à un cylindre de rayon $r = 3{,}0\text{ cm}$;

la pression de l'air dans la cuve reste constamment égale à la pression atmosphérique $P_0 = 1{,}01 \times 10^5\text{ Pa}$;

durant le remplissage, l'air et l'eau sont supposés à la même température $\theta_0 = 20\ ^\circ\text{C}$;

le débit volumique $D_v$ d'arrivée d'eau dans le lave-linge vaut $12 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{min}^{-1}$.

La quantité d'air présente dans la chambre de compression reste constante, ainsi que sa température. Avant le remplissage, l'air occupe un volume $V_0 = 0{,}50\text{ L}$ et la pression dans le pressostat est telle que $P = P_0$. Après le remplissage, la hauteur d'eau dans la chambre de compression est $h = 5{,}0\text{ mm}$ et la pression dans le pressostat est telle que $P = P_2$. On considère que l'air se comporte comme un gaz parfait.

La quantité d'air présente dans la chambre de compression reste constante, ainsi que sa température. Avant le remplissage, l'air occupe un volume $V_0 = 0{,}50\text{ L}$ et la pression dans le pressostat est telle que $P = P_0$. Après le remplissage, la hauteur d'eau dans la chambre de compression est $h = 5{,}0\text{ mm}$ et la pression dans le pressostat est telle que $P = P_2$. On considère que l'air se comporte comme un gaz parfait.

Q2.

Justifier que la pression augmente dans la chambre de compression lors du remplissage.

Q3.

Exprimer le volume $V_2$ occupé par l'air dans la chambre de compression à l'arrêt du remplissage, en fonction de $V_0$, $r$ et $h$.

Q4.

Exprimer $P_2$ en fonction des données, puis montrer que la surpression $\Delta P = P_2 - P_0$ entre la pression qui a provoqué l'arrêt du remplissage et la pression initiale, peut s'écrire:

$$\Delta P = P_0 \times \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{V_0 - \pi \cdot r^2 \cdot h}$$

Q5.

On rappelle que, dans les conditions du test, la hauteur d'eau dans la chambre de compression est $h = 5{,}0\text{ mm}$.

Calculer la valeur de la surpression $\Delta P$ lors du test dans lequel le remplissage s'arrête lorsque la machine est à moitié remplie. Commenter la valeur obtenue par rapport à celle d'un cycle normal hors test, pour lequel $\Delta P = 150\text{ Pa}$.