Exercice 3 · Bac Épreuve anticipée de mathématiques (spécialité) Métropole Secours 2026

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Le rectangle $OABC$ représenté ci-contre modélise une scène de spectacle vue de dessus.

On place un projecteur au point $F$ qui permet d'éclairer la partie du plan délimitée par le polygone $ABEFD$.

1.

Donner sans justification les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$:

($$,

$$)

($$,

$$)

($$,

$$)

($$,

$$)

($$,

$$)

($$,

$$)

2.

Un visiteur affirme que la partie du plan éclairée par ce projecteur représente plus de $80\,\%$ de l'aire totale de la scène. Cette affirmation est-elle exacte ?

%

3.

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{FD}$ et $\vec{FE}$ et calculer le produit scalaire $\vec{FD} \cdot \vec{FE}$.

($$,

$$)

($$,

$$)

4.

En déduire une valeur exacte du cosinus de l'angle $\widehat{DFE}$.

5.

Expliquer comment construire à l'aide d'une équerre le point $M$ appartenant au segment $[DF]$ tel que $\vec{FD} \cdot \vec{FM} = 14$.