Exercice 3 · Bac Épreuve anticipée de mathématiques (spécialité) Métropole 2026

Exercice 3 (4 points)

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on considère les points $P(4; 0)$ et $K(1; 0)$.

On considère un réel $x$ et on note $M$ le point de coordonnées $(x; 3)$.

1.

Donner les coordonnées du vecteur $\vec{KP}$ ainsi que sa norme.

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)

2.

Exprimer en fonction de $x$ les coordonnées du vecteur $\vec{KM}$ ainsi que sa norme.

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)

3.

Montrer que le produit scalaire $\vec{KP} \cdot \vec{KM}$ est égal à $3x - 3$.

4.

Montrer que si l'angle $\widehat{PKM}$ est égal à $\frac{\pi}{3}$, alors le réel $x$ est solution de l'équation:

$(E) \quad \sqrt{(x - 1)^2 + 9} = 2x - 2$

5.

Vérifier que le réel $1 + \sqrt{3}$ est solution de l'équation $(E)$.