Exercice 3 - Tableaux croisés et probabilités · Bac Épreuve anticipée de mathématiques (sans spécialité) Métropole Septembre 2026

Une étude a été réalisée sur la qualité de l'eau dans une région, en prélevant des échantillons dans deux types de milieux: des rivières et des lacs. Chaque échantillon a ensuite été analysé et classé comme de qualité « satisfaisante » ou « insatisfaisante » selon les normes en vigueur.

Voici les données recueillies à partir d'un total de 500 échantillons analysés:

300 échantillons provenaient de rivières;

parmi les échantillons prélevés dans les lacs, 80 étaient classés de qualité « insatisfaisante »;

au total, 280 échantillons étaient classés de qualité « satisfaisante ».

On choisit un échantillon d'eau au hasard parmi les 500 échantillons analysés.

On note les évènements suivants:

$S$: « l'échantillon choisi est classé de qualité satisfaisante »;

$R$: « l'échantillon choisi provient d'une rivière ».

Pour un évènement quelconque $E$: on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $P(E)$ la probabilité de $E$.

On donnera les résultats sous forme de fraction.

1. Recopier et compléter le tableau suivant:

Rivière

Lac

Total

Qualité satisfaisante

Qualité insatisfaisante

Total

500

2. On choisit un échantillon d'eau au hasard parmi les $500$ échantillons analysés.

On note les évènements suivants:

$S$: « l'échantillon choisi est classé de qualité satisfaisante »;

$R$: « l'échantillon choisi provient d'une rivière ».

Pour un évènement quelconque $E$: on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $P(E)$ la probabilité de $E$.

On donnera les résultats sous forme de fraction.

a.

Quelle est la probabilité que l'échantillon provienne d'une rivière ?

b.

Décrire l'évènement $\overline{S}$ par une phrase puis justifier que $P(\overline{S}) = \dfrac{11}{25}$.

c.

Calculer $P(S \cap \overline{R})$, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

4.

Les évènements « l'échantillon provient d'une rivière » et « l'échantillon est de qualité insatisfaisante » sont-ils indépendants ? Justifier.