Exercice A - Fonction ln · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2021 (jour 2)

EXERCICE A - Fonction ln

Partie A:

Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de 0,05. On possède un test de dépistage de cette maladie. On considère un échantillon de $n$ personnes ($n \ge 20$) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.

On teste l'échantillon suivant cette méthode: on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange. Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne. Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses effectuées.

1.

Montrer $X_n$ prend les valeurs $1$ et $(n + 1)$.

2.

Prouver que $P(X_n = 1) = 0{,}95^n$. Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant:

$x_i$ · $1$ · $n + 1$

$P(X_n = x_i)$

3.

Que représente l'espérance de $X_n$ dans le cadre de l'expérience ? Montrer que $E(X_n) = n + 1 - n \times 0{,}95^n$.

Partie B:

1.

On considère la fonction $f$ définie sur $[20; +\infty[$ par $f(x) = \ln(x) + x \ln(0{,}95)$. Montrer que $f$ est décroissante sur $[20; +\infty[$.

2.

On rappelle $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$. Montrer que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

3.

Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[20; +\infty[$. Donner un encadrement à $0{,}1$ près de cette solution.

$< \alpha <$

4.

En déduire le signe de $f$ sur $[20; +\infty[$.

Partie C:

On cherche à comparer deux types de dépistages. La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus. La première méthode permet de diminuer le nombre d'analyses dès que $E(X_n) < n$.

En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d'analyses pour des échantillons comportant 87 personnes maximum.