Exercice 2 - Partie C · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 2)

Thème : Concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres · Tiré du sujet Jour 2 (2026)

Énoncé

Parmi les habitants âgés d’au moins 15 ans vivant en France, on compte:

21 % de personnes de 15 à 29 ans;

46 % de personnes de 30 à 59 ans;

33 % de personnes d’au moins 60 ans.

On s’intéresse à l’utilisation d’un réseau social par les habitants âgés d’au moins 15 ans vivant en France. On a ainsi pu observer que:

70 % des personnes de 15 à 29 ans ont déjà publié sur ce réseau social;

46 % des personnes de 30 à 59 ans ont déjà publié sur ce réseau social;

15 % des personnes d’au moins 60 ans ont déjà publié sur ce réseau social.

On interroge une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France et on lui demande si elle a déjà publié sur ce réseau social.

On note:

JJ l'événement: « la personne interrogée a entre 15 et 29 ans »;

MM l'événement: « la personne interrogée a entre 30 et 59 ans »;

SS l'événement: « la personne interrogée a au moins 60 ans »;

RR l'événement: « la personne interrogée a déjà publié sur ce réseau social ».

On note R‾\overline{R} l'événement contraire de l'événement RR.

Dans tout l'exercice, les valeurs approchées seront arrondies au millième.

Partie C

On effectue le sondage décrit dans la partie B dans 150 villes françaises en respectant les mêmes conditions.

On note X1X_1, X2X_2,..., X150X_{150} les variables aléatoires donnant le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi les 100 personnes interrogées dans chacune des 150 villes.

On considère YY la variable aléatoire définie par

Y=X1+X2+⋯+X150150.Y = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_{150}}{150}.

Démontrer que la probabilité que la variable aléatoire YY soit strictement comprise entre 37 et 45 est strictement supérieure à 98 %.

Énoncé: Exercice 2 - Partie C · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 2)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Démontrer que la probabilité que la variable aléatoire Y soit strictement comprise entre 37 et 45 est strictement supérieure à 98 %.

Réponse : Chaque variable aléatoire XiX_i suit la loi binomiale B(100;0,41)\mathcal{B}(100; 0{,}41). Ainsi : E(Xi)=100×0,41=41E(X_i) = 100 \times 0{,}41 = 41 et : V(Xi)=100×0,41×0,59=24,19V(X_i) = 100 \times 0{,}41 \times 0{,}59 = 24{,}19 La variable aléatoire YY est la moyenne des 150 variables aléatoires X1,X2,…,X150X_1, X_2, \dots, X_{150}. Donc : E(Y)=41E(Y) = 41 Comme les sondages sont réalisés de manière indépendante : V(Y)=V(X1)150=24,19150V(Y) = \frac{V(X_1)}{150} = \frac{24{,}19}{150} On veut étudier : P(37<Y<45)P(37 < Y < 45) Or : 37<Y<45  ⟺  ∣Y−41∣<437 < Y < 45 \iff |Y - 41| < 4 On utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(∣Y−E(Y)∣≥4)≤V(Y)42P(|Y - E(Y)| \ge 4) \le \frac{V(Y)}{4^2}   ⟺  P(∣Y−41∣≥4)≤24,1915016\iff P(|Y - 41| \ge 4) \le \frac{\frac{24{,}19}{150}}{16}   ⟺  P(∣Y−41∣≥4)≤24,192400\iff P(|Y - 41| \ge 4) \le \frac{24{,}19}{2400} Ainsi : P(∣Y−41∣<4)≥1−24,192400≈0,9899P(|Y - 41| < 4) \ge 1 - \frac{24{,}19}{2400} \approx 0{,}9899 En particulier : P(37<Y<45)>0,98P(37 < Y < 45) > 0{,}98 La probabilité que YY soit strictement comprise entre 37 et 45 est donc bien strictement supérieure à 98 %.

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