Exercice 1 - Partie C.2 et C.3 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 1)

EXERCICE 1 (5 points)

La fédération internationale d'escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité.

Pour tester la conformité de l'acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les secondes jusqu'à la rupture. La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test.

Un équipementier d'escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames. Son stock est composé de 60 % de lames du fournisseur $A$, de 12 % de lames du fournisseur $B$, le reste venant du fournisseur $C$.

Une étude qualité a montré que:

90 % des lames du fournisseur $A$ étaient conformes;

95 % des lames du fournisseur $B$ étaient conformes;

85 % des lames du fournisseur $C$ étaient conformes.

Partie C (suite)

On rappelle que $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ avec $E(M_n) = 8,1$ et $V(M_n) = \dfrac{7,2252}{n}$.

2.

Justifier l'inégalité suivante, pour tout entier naturel $n$ non nul:

$$P(|M_n - 8,1| \ge 2) \le \frac{1,8063}{n}$$

3.

Déterminer une valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle $P(|M_n - 8,1| < 2) \ge 0,95$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice: