Aufgabe 2 · Abitur NRW Physik LK · Füllstandsmessung 2025

2 Material

Material 1: Behälter zur kapazitiven Füllstandsmessung

Schematischer Aufbau des Behälters:

Zwei einander gegenüberliegende Seiten des Behälters sind aus Metall und mit den Polen einer Spannungsquelle verbunden (s. Abb. 1). Ein elektrischer Strom zwischen diesen Platten kann deshalb nicht fließen, da die anderen Seiten des Behälters, das Petroleum und die Luft bei den gegebenen Bedingungen jeweils elektrische Nichtleiter sind.

Die beiden leitenden Seiten mit der Füllung dazwischen können modellhaft als Plattenkondensator mit Petroleum bzw. Luft als Dielektrikum betrachtet werden.

Die Dielektrizitätszahl von Petroleum beträgt $\varepsilon_{\text{r,P}} = 2{,}0$, die von Luft $\varepsilon_{\text{r,L}} = 1{,}0$.

Für die Kapazität in Abhängigkeit von der Füllhöhe des Behälters gilt:

$$C_{\text{ges}}(h) = \varepsilon_0 \cdot \frac{b}{d} \cdot (h_{\text{ges}} + (\varepsilon_{\text{r,P}} - 1) \cdot h)$$

Material 2: Parallelschaltung von Kondensatoren

Die Kapazität eines Plattenkondensators, der bis zu einer bestimmten Höhe $h$ mit einem Dielektrikum gefüllt ist, entspricht der Gesamtkapazität $C_{\text{ges}}$ einer Parallelschaltung aus einem gefüllten und einem ungefüllten Plattenkondensator mit entsprechenden Abmessungen.

Für die Gesamtkapazität zweier parallel geschalteter Kondensatoren der Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ gilt: $C_{\text{ges}} = C_1 + C_2$.

Material 3: Zeitlicher Verlauf der Entladestromstärke des Kondensators

Zum Zeitpunkt $0\text{ s}$ ist der Kondensator bis zum Erreichen der Spannung $7{,}5\text{ V}$ voll aufgeladen und wird ausschließlich über den Ohm'schen Widerstand $R = 500\text{ k}\Omega$ entladen.

Material 4: Massenbezogene Füllstandsmessung durch Verwendung von Lastsensoren

Das Grundprinzip der massenbezogenen Füllstandsmessung basiert auf der Messung der Gewichtskraft eines Behälters durch Lastsensoren. Dabei werden die Sensoren unter dem Behälter angebracht und messen die von dem Behälter ausgeübte Kraft. Jegliche Änderung der gemessenen Kraft entspricht einer Änderung des Füllstands, solange das Füllmaterial eine einheitliche Dichte hat.

2 Für einen teilweise befüllten Behälter kann die Kapazität des betrachteten Kondensators in Abhängigkeit von der Füllhöhe des Petroleums durch die Gleichung in Material 1 beschrieben werden.

a

Leiten Sie den in der Gleichung (M 1) dargestellten Zusammenhang zwischen der Gesamtkapazität $C_{\text{ges}}$ und der Füllhöhe $h$ des Petroleums im Behälter unter Verwendung von Material 2 her.

b

Berechnen Sie die Füllhöhe des Petroleums im Behälter, für die sich eine Gesamtkapazität von $10{,}75\text{ pF}$ ergibt.